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We will study sums of squares of regular functions on real algebraic curves and surfaces. Notion of a weakly factorial variety will be introduced and its usefulness in the study of Pythagoras number will be shown. We will then show that if X is a nonsingular rational real algebraic surface then the Pythagoras number of the ring of regular functions on X is bounded from above by 12.
TBA
I will sketch some themes and results related to real integrals and their connections to geometry, analysis, and number theory. Using real geometry and real semi-algebraic sets, I will sketch classes of functions which are stable under (parametric) integration, Fourier transform, Mellin transform, and Laplace transform (Laplace still being work in progress). This has connections to classes of distributions and their properties (like holonomicity), to periods and exponential periods and families thereof, and questions around (functional) transcendence. The directions I will focus most on comprise work by many people, in particular by Aizenbud, (my PhD student) Buggenhout, Comte, Kaiser, Lion, Miller, Raibaut, Rolin, Servi, Stout, (my PhD student) Vandebrouck. I will raise some open questions for future research as well.
Let X be a nonsingular real algebraic set and let M be a compact smooth submanifold of X. I will discuss approximation of M by nonsingular algebraic subsets of X. There is a new (2024) result by Olivier Benoist concerning the case 2dimM<dimX and involving an appropriate bordism condition. I will interpret the bordism condition in terms of homology and present some applicationsLet X be a nonsingular real algebraic set and let M be a compact smooth submanifold of X. I will discuss approximation of M by nonsingular algebraic subsets of X. There is a new (2024) result by Olivier Benoist concerning the case 2dimM<dimX and involving an appropriate bordism condition. I will interpret the bordism condition in terms of homology and present some applications.
Les équations aux dérivées partielles dispersives sont des équations d'évolution (c'est-à-dire comportant la variable temporelle) dont les solutions préservent l'énergie, mais peuvent néanmoins décroître en temps long parce que les différentes fréquences se propagent avec des vitesses distinctes. Dans certains cas, il existe des solutions spéciales appelées « solitons » qui ne changent pas de forme au fil du temps. La conjecture de résolution en solitons prédit que les solitons sont le seul obstacle à la décroissance des solutions. Plus précisément, toute solution se décompose en une superposition de solitons et d'un terme évanescent appelé « radiation ». Nous présenterons cette conjecture dans le contexte de l'équation des applications d'ondes critique, qui est l'analogue de l'équation des ondes pour les applications de R^2 dans S^2. Nous considérons les solutions « équivariantes », qui sont des solutions ayant une certaine symétrie préservée par le flot. Dans ce cas, les solitons sont centrés à l'origine, mais ils peuvent néanmoins se découpler si leurs échelles caractéristiques sont très différentes. Dans un travail commun avec Andrew Lawrie, nous démontrons que la résolution en solitons est vérifiée. À la lumière de ce résultat, il est naturel d'examiner le comportement à long terme des échelles de plusieurs solitons en interaction. Dans cette direction, dans un travail récent avec Joachim Krieger, nous construisons des solutions développant une singularité par concentration simultanée de deux solitons à l'origine.
Les équations aux dérivées partielles dispersives sont des équations d'évolution (c'est-à-dire comportant la variable temporelle) dont les solutions préservent l'énergie, mais peuvent néanmoins décroître en temps long parce que les différentes fréquences se propagent avec des vitesses distinctes. Dans certains cas, il existe des solutions spéciales appelées « solitons » qui ne changent pas de forme au fil du temps. La conjecture de résolution en solitons prédit que les solitons sont le seul obstacle à la décroissance des solutions. Plus précisément, toute solution se décompose en une superposition de solitons et d'un terme évanescent appelé « radiation ». Nous présenterons cette conjecture dans le contexte de l'équation des applications d'ondes critique, qui est l'analogue de l'équation des ondes pour les applications de R^2 dans S^2. Nous considérons les solutions « équivariantes », qui sont des solutions ayant une certaine symétrie préservée par le flot. Dans ce cas, les solitons sont centrés à l'origine, mais ils peuvent néanmoins se découpler si leurs échelles caractéristiques sont très différentes. Dans un travail commun avec Andrew Lawrie, nous démontrons que la résolution en solitons est vérifiée. À la lumière de ce résultat, il est naturel d'examiner le comportement à long terme des échelles de plusieurs solitons en interaction. Dans cette direction, dans un travail récent avec Joachim Krieger, nous construisons des solutions développant une singularité par concentration simultanée de deux solitons à l'origine.