Toute courbe complexe plane est munie d’une métrique riemannienne induite par la métrique ambiante de Fubini- Study du plan projectif complexe. Nous donnons des bornes inférieures probabilistes sur certaines quantités métriques et spectrales (telles que la systole ou le trou spectral) des courbes planes lorsque celles-ci sont choisies aléatoirement. Il s’agit d’un travail commun avec Damien Gayet.