On donne une condition géométrique nécessaire et suffisante sur un domaine borné arbitraire pour que l'opérateur divergence possède un inverse à droite continu dans des espaces de Lebesgue et de Sobolev à poids. On relie aussi cette question à des inégalités de Poincaré. On retrouve en particulier des résultats connus lorsque le domaine est lipschitzien ou plus généralement est un domaine de John.
The complete water wave problem remains a difficult task despite recent progresses in this field (Clamond & Grue, 2001). Its intrinsic complexity and stiffness prevent from efficient simulations in complex and large domains. Consequently, a number of approximative models have been proposed. In the present work we consider weakly nonlinear/weakly dispersive wave regime which is modelled by the family of Boussinesq type equations. Mathematically these models are expressed as dispersive nonlinear PDEs. In the present study we apply some finite volumes methods to these models. Our numerical schemes are tested on various practical problems. First, we consider some classical questions of soliton dynamics: solitary wave propagation, conservation of invariants, interactions, dispersive shock formation. A comparison with experiments on solitons head-on collision is performed (J. Hammack et al, 2004). Finally, we pay a lot of attention to the problem of the wave run-up onto a beach. This problem is very challenging from physical point of view (triple point) and numerical techniques have to treat wet/dry interface transition. Our algorithm is validated against experimental data of Synolakis and Zelt on breaking and nonbreaking solitary waves run-up onto a plane beach. This is a joint work with D. Dutykh and Th. Katsaounis.
En Mécanique quantique relativiste, un électron soumis à l'action d'un champ électro-magnétique externe pourrait être déstabilisé par la puissance du champ magnétique. Dans cet exposé je présenterai des travaux sur la dépendance de la première valeur propre de l'opérateur de Dirac-Coulomb magnétique en fonction de la puissance du champ magnétique.Cette étude fait intervenir une méthode variationnelle non classique pour caractériser les valeurs propres d'un opérateur dans un gap du spectre continu.
``Bounds on the product of the first two non-trivial frequences of a free membrane'' In this talk we are interested in the eigenvalue problem of a free membrane represented as a bounded simply-connected planar domain D with Lipschitz boundary. The aim of this talk is twofold. First, we give a positive answer to the following conjecture of Iosif Polterovich: the product of the first two non-trivial Neumann eigenvalues of the laplacian on D (frequencies of the free membrane D) is upper bounded by the value of the same quantity for the disk with same area as D. This estimate is sharp and the equality occurs if and only if D is a disk. Secondly, we consider the class of n-sided convex polygons and establish an isoperimetric inequality for the product of some moments of inertia. As an application, we obtain an explicit nice upper bound for the product of the first two non-trivial frequences of a free membrane represented as a n-sided convex polygon.
La théorie des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs) permet, entre autre, de donner une représentation probabiliste d'EDPs semi-linéaires. Dans cet exposé nous nous intéresserons à des EDSRs en horizon infini qui nous fournissent un outil alternatif pour l'étude de problèmes de contrôle optimal ainsi que certains problèmes de Neumann semi-linéaires associés à des phénomènes ergodiques et étudiés par G. Barles et F. Da Lio dans leur article ``On the boundary ergodic problem for fully nonlinear equations in bounded domains with general nonlinear Neumann boundary conditions'' (2005).
On considère la classe des systèmes de Timoshenko. L’objectif est de démontrer la stabilité à l’infini (l’énergie décroit vers zéro quand le temps converge vers l’infini) et obtenir une estimation sur le taux de décroissance. Pour cela, on distingue deux cas. 1. Les deux équations ont la meme vitesse de propagation : pour toute solution faible, on montre une estimation générale et explicite sur l’énergie ce qui donne une idée précise sur l’influence de chaque controle sur la stabilité du système. On donne quelques exemples pour illustrer notre estimation. 2. Les deux équations n’ont pas la meme vitesse de propagation : sous des hypothèses plus fortes et pour des solutions plus régulières, on montre une estimation de stabilité plus faible. L’idée de la démonstration est basée sur la méthode des multiplicateurs et quelques inégalités intégrales. Ses résultats ont été obtenus en collaboration avec S. Messaoudi (KFUPM, Dhahran, Arabie Saoudite) dont une partie va apparaitre dans Mathematical Methods in the Applied Sciences.
We consider the problem of approximating low eigenvalues of the Laplace operator on bounded domains in n dimensional Euclidean space with Dirichlet boundary conditions. The general purpose is to be able to understand better the relationships between the geometry of the domain and low eigenvalues, and we divide our approach into (roughly) three parts as follows: 1) asymptotic expansions 2) bounds depending on geometric quantities 3) more complex conjectured bounds supported by extensive numerical computations
We obtain several averaging lemmas for transport operator with a force term. These lemmas improve the regularity yet known by not considering the force term as part of an arbitrary right-hand side. We compare the obtained regularities according to the space and velocity variables.
Nous présentons une approche (1D) d'écoulement mixte en conduite fermée à section non uniforme. Le modèle est dérivé à partir des équations d' Euler compressible et incompressible. Par le choix de variables dites équivalentes et d'une pression adéquate, on réécrit le modèle sous une seule formulation. Ce modèle fait intervenir des termes sources complexes que l'on propose de décentrer dans le cadre d'un schéma cinétique: les termes en question sont les termes sources de pression, les termes de géométrie et la friction. La difficulté du décentrement réside en la nature de chacun des ces termes : produits conservatifs, non-conservatifs ou d'aucun de ces deux types. On termine par quelques tests numériques où l'on compare les résultats obtenus avec une méthode type VFROE. Notamment, notre approche conserve la symétrie de certains écoulements contrairement à une approche explicite classique.
We apply the semigroup setting of Desch and Miller to a class of stochastic integral eqations of Volterra type with completely monotone kernels with a mutiplicative noise term. The corresponding equation is an infinite dimensional stochastic equation with unbounded diffusion operator that we solve with the semi group approach of Da Prato and Zabezyk. As a motivation of our results, we study an optimal control problem when the control enters the system together with the noise.
Nous considérons un écoulement de deux fluides newtoniens, imcompressibles et immiscibles dans un domaine mince. Nous supposons que l'écoulement est gouverné par les équations de Navier-Stokes. Dans un premier temps nous considérons que les deux fluides n'ont pas la même vitesse et nous ne tenons pas compte de la variation de la hauteur totale des fluides. Ainsi nous dérivons un modèle de Saint-Venant bicouche à toit rigide. Nous montrons la stabilité de solutions faibles du modèle. Dans un second temps nous supposons que la surface est libre mais que les deux fluides ont la même vitesse. Nous finissons par une étude numérique du modèle 1D.
Les équations différentielles stochastiques rétrogrades ont été introduites par Pardoux et Peng en 1990. La motivation initiale était de généraliser à des problèmes non-linéaires la formule de Feynman-Kac (représentation probabiliste d'EDP du second ordre). J'essaierai dans un premier temps d'expliquer les liens entre ce type d'équations stochastiques et la théorie des EDP puis dans un second temps je donnerai d'autres applications par exemple à la finance et/ou à la théorie des martingales.
Cet exposé est basé sur le modèle de Canh-Hilliard qui permet de décrire l'évolution du mélange de plusieurs espèces. Il est décomposé en trois parties, une première partie qui concerne la biologie du cancer, la deuxième partie parle d'un modèle mathématique mis en place par Preziosi sur le cancer et enfin on essaie de voir le cancer comme un mélange d'espèces (cellules normales, cellules malades, matrice extracellulaires, ...)