Le séminaire de l’équipe Géométrie est sous la responsabilité de Georges Comte.
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Année 2005

Vendredi 16 décembre 2005 à 10h C. Tarquini (ENS de Lyon),
Feuilletages lorentziens sur les variétés de dimension 3.

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(Travail commun avec C. Boubel et P. Mounoud)
Nous étudions les feuilletages de dimension 1 sur les variétés compactes de dimension 3 dont l’holonomie préserve une métrique lorentzienne transverse. Sous une hypothèse de complétude, nous les classifions et nous en déduisons la classification duale pour les feuilletages de codimension 1 de type temps qui sont totalement géodésiques et géodésiquement complets. Nous donnons aussi un exemple exotique de feuilletage dans le cas non complet.

Vendredi 02 décembre 2005 à 10h P. Verovic (LAMA),
L’aire des triangles idéaux en géometrie de Hilbert.

Vendredi 25 novembre 2005 à 10h M. Akriche (LAMA),
Topologie des surfaces elliptiques réelles.

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Les surfaces elliptiques propres réelles, c’est-à-dire les surfaces dont la dimension de Kodaira est égale à 1, constituent la seule classe de surfaces algébriques réelles de type spécial dont la classification topologique n’est pas achevée.
Quand le nombre de Hodge h^0,1(X) est nul, c’est-à-dire que la surface elliptique X est régulière, nous donnons une réponse complète à la question des valeurs possibles des nombres de Betti de la partie réelle, pour chaque famille complexe. En particulier, nous retrouvons les réponses bien connues à cette question dans le cas des surfaces elliptiques rationnelles et les surfaces K3 elliptiques.

Vendredi 18 novembre 2005 à 10h F. Sottile (Texas A&M University),
The Shapiro conjecture.

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About 10 years ago, Boris Shapiro and Michael Shapiro made a remarkable conjecture about real solutions to geometric problems coming from the classical Schubert calculus. While the conjecture remains open, there is truly overwhelming computational evidence supporting it, and Eremenko and Gabrielov proved it for Grassmannians of 2-planes, where the conjecture is the appealing statement that a rational function with only real critical points must be real.
In my talk, I will introduce the Shapiro conjecture and discuss what we know about it. This includes a simple counterexample and a refinement which is supported by massive experimental evidence. This evidence includes tantalizing computations which suggest a strengthening: that a certain discriminant polynomial is a sum of squares, or more generally that it has such an algebraic certificate of positivity.

Vendredi 04 novembre 2005 à 10h C. McCrory (University of Georgia),
Stiefel-Whitney classes of real toric varieties.

Vendredi 21 octobre 2005 à 10h Erwan Brugalle (Max Planck),
Construction de courbes algébriques réelles planes avec beaucoup d’ovales pairs.

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Un ovale d’une courbe algébrique réelle plane est dit pair, s’il est contenu dans un nombre pair d’ovales de la courbe. En 1906, Virginia Ragsdale a conjecturé que pour toute courbe de degré 2k avec p ovales pair,
p <= 3k(k-1)/ 2 + 1.
Cette conjecture a joué un rôle très important dans le développement ultérieur de la topologie des variétes algébriques réelles.
Le premier pas dans cette histoire à été fait par Igor Petrovski qui démontra la borne
p <= 7k²/4 - 9k/4 + 3/2.
Mais il fallut attendre 1993, pour que le premier contre-exemple soit exhibé par Ilia Itenberg grâce à l’utilisation du patchwork combinatoire. Plus précisément, Il construisit une famille de courbe de degré 2k avec
p = 81/48 k²+ O(k).
Cependant, une question restait ouverte : peut on raffiner la borne de Petrovski ?
J’expliquerai en détail dans cet exposé la construction d’Itenberg. Puis, en généralisant cette construction, je construirai une famille de courbes de degré 2k avec
p = 7/4 k²+ o(k²),
ce qui signifie que la borne de Petrovski est asymptotiquement optimale.
Ces courbes sont obtenues en combinant trois méthodes de construction : la méthode des petites perturbations, le patchwork et les dessins d’enfants. La première était connue dès le XIXème siècle, la seconde est dûe à Viro dans les années 70 et la dernière a été introduite recemment en géométrie algébrique réelle.

Vendredi 07 octobre 2005 à 10h Frédéric Bihan (LAMA),
Systèmes polynomiaux supportés par un circuit et Dessins d’enfant.

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On appelle circuit tout ensemble de n+2 points entiers dans Zⁿ. Un système polynomial est supporté par un circuit si ses n équations ont pour support commun un circuit dans Zⁿ.
On donne ici des bornes supérieures sur le nombre de solutions réelles d’un tel système en fonction du "rang modulo 2" du circuit et de la dimension de l’espace affine du sous-ensemble minimal du circuit constitué de points affinement dépendants. On montre que ces bornes sont exactes en dessinant des graphes sur la sphère de Riemann, qui sont des exemples de "Dessins d’enfants".
On obtient aussi qu’un tel système a au plus n+1 solutions positives (dont toutes les coordonnées sont strictement positives), et cette borne est exacte. Cette dernière borne n+1 améliore considérablement la borne donnée par le théorème de Khovanskii (théorie des Fewnomials).

Vendredi 13 mai 2005 à 10h30 Serge Randriambololona (LAMA),
Deux remarques à propos de la semi-algébricité en dimension deux.

Résumé : (Masquer les résumés)
Je présenterai deux résultats concernant le contrôle d’une structure o-minimale par ses ensembles définissables de dimension deux :
- La structure engendrée par les sous-ensembles semi-algébriques de R² élimine ses quantificateurs (théorème de Tarski-Seidenberg pour les ensembles semi-2-algébriques).
En particulier, il existe une structure o-minimale strictement plus petite que celle des semi-algébriques mais qui définit (exactement) TOUS les ensembles semi-algébriques de R².
- Considérons une expansion (o-minimale) S du corps des réels qui admet un théorème de décomposition C^{infty}.
S’il existe un n>1 tel que tous les ensembles S-définissables sont en fait semi-algébriques alors S est la structure des semi-algébriques.
On peut ainsi "reconnaître" les structures qui définissent des ensembles non semi-algébriques dès la dimension 2.

Vendredi 29 avril 2005 à 10h30 Jean-Yves Welschinger (ENS Lyon),
Invariants relatifs des variétés symplectiques réelles de dimension quatre.

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Soit $(X, omega)$ une variété symplectique de dimension quatre équipée d’une involution antisymplectique $c_X$. Le lieu fixe de $c_X$ est une surface lagrangienne lisse notée $R X$. Soit $L$ une courbe lisse de $R X$ qui réalise $0$ dans $H_1 (R X ; /2)$. Je présenterai la construction d’invariants par déformation du quadruplet $(X, omega, c_X, L)$. Ces invariants sont obtenus en comptant avec signe les courbes $J$-holomorphes réelles qui réalisent une classe d’homologie donnée, passent par un nombre adéquat de points fixés et sont tangentes à $L$. Je discuterai ensuite plusieurs applications de ces résultats.

Vendredi 15 avril 2005 à 10h30 Vincent Thilliez (Lille),
Sur la détermination des fonctions différentiables à singularités non isolées.

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Comment caractériser les germes de fonctions indéfiniment différentiables qui sont entièrement déterminés, modulo un changement de variable lisse, par leur série de Taylor à l’origine, ou leur jet sur un fermé ? Dans le cas de germes à point critique isolé, le problème est parfaitement compris depuis les années 70 -- il s’agit en quelque sorte d’une variante "d’ordre infini" de la notion de jet suffisant (selon la terminologie de Thom) ou de détermination de germes (selon celle de Mather). Il en va autrement pour les singularités non isolées, où une caractérisation est connue seulement dans des cas très particuliers. On présentera un résultat sensiblement plus général.

Vendredi 08 avril 2005 à 10h30 Ilia Itenberg (Strasbourg),
Asymptotique logarithmique d’invariants de Gromov-Witten d’un plan éclaté.

Résumé : (Masquer les résumés)
Les invariants de Gromov-Witten peuvent être vus géométriquement comme les nombres de certaines courbes complexes ou pseudo-holomorphes de genre donné qui représentent une classe d’homologie donnée d’une variété donnée.
On étudie la croissance des invariants de Gromov-Witten GW_nD de genre zéro du plan projectif P²_k éclaté en k points, où D est une classe dans le deuxième groupe d’homologie de P²_k. Sous des hypothèses naturelles sur D, on obtient l’asymptotique précise de la suite log GW_nD.

Vendredi 25 mars 2005 à 10h30 Nicolas Bédaride (IML, Marseille),
Complexité du billard polyédral.

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On s’intéresse au système dynamique suivant : Soit P un polyèdre de R³, et un point (m, heta)inpartial{P}*S². Ce point se déplace dans le polyèdre en suivant une droite de direction heta jusqu’à rencontrer le bord où la trajectoire se réfléchit en suivant les lois de Descartes. On obtient ainsi une application de partial{P}*S² dans lui même.
Pour étudier cette application on code les trajectoires sur un alphabet fini, on obtient alors des mots infinis dont on étudie la complexité. On présentera, au cours de l’exposé les différentes estimations que l’on peut obtenir de cette fonction.

Vendredi 18 mars 2005 à 11h15 Mayada Slayman (LAMA),
Formes locales des distributions vérifiant la condition de Goursat.

Résumé : (Masquer les résumés)
Un drapeau de Goursat est une chaîne E_s < E_s-1 <... < E₁ < E₀ = TM$ de sous-fibrés de l’espace tangent TM avec i = corang E_i et tels que les champs de vecteurs de E_i et leurs crochets de Lie engendrent E_i-1. Engel, Goursat, et Cartan ont étudié ces drapeaux et ont établi une forme normale pour eux aux points génériques de M.
Récemment, Kumpera, Ruiz, et Mormul ont découvert que les drapeaux de Goursat peuvent avoir des singularités et que leur nombre grandit exponentiellement avec le corang s.
Je donnerai les formes locales des 2-distributions vérifiant la condition de Goursat sur une variété de dimension n+2 et deux applications en dimensions 6 et 7.

Vendredi 18 mars 2005 à 10h30 Farah Farah (LAMA),
Sur la géométrie de la mécanique lagrangienne avec contraintes.

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On fournit une généralisation de la connexion de Levi-Civita aux lagrangiens quelconques même non homogènes.
En effet, Faddeev et Vershik ont étudié la géométrisation de la mécanique lagrangienne avec contrainte où le lagrangien est quadratique et la contrainte est linéaire, ils ont prouvé l’existence d’une connexion dont les géodésiques sont les trajectoires du système, i.e. les solutions de l’équation d’Euler-Lagrange.
On généralise ce résultat dans n’importe quel système mécanique avec contrainte, de plus on trouve que l’hamiltonien se conserve par transport parallèle.

Vendredi 11 mars 2005 à 10h30 Sahuzo Izumi (Kinki University),
An introduction to multivariate Hermite type interpolation.

Vendredi 04 mars 2005 à 10h30 Claude Vallée (Université de Poitiers),
Surfaces minimales.

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Nous revisitons le problème de Plateau: étant donné une courbe fermée, trouver la surface d’aire minimale ayant cette courbe comme frontière. La question que nous voulons discuter à nouveau est comment reconstruire effectivement la surface d’aire minimale connaissant la frontière.
Appuyé sur le théorème de Pierre Ossian Bonnet (1867) affirmant qu’une surface est déterminée à un déplacement euclidien près par ses premières et secondes formes fondamentales, nous renonçons à exhiber une surface minimale par ses équations paramétriques. Nous préférons découvrir dans un premier temps ses deux formes fondamentales. C’est la base de notre nouvelle méthode qui résout le problème de calcul des variations suivant :
minimiser l’aire regardée comme une fonctionnelle des deux formes fondamentales en respectant les conditions de compatibilité de Gauss-Coddazzi. Nous montrerons que les multiplicateurs de Lagrange introduits pour respecter ces contraintes satisfont une équation aux dérivées partielles conjuguée, comme lorsqu’on applique le principe de Pontriagine en commande optimale.

Références :
[1] Meusnier, Ch., Mémoire sur la courbure des surfaces, Mém. pré. sav. étrangers, Ac. sci., 10, 1785.
[2] Gauss, K. F., Disquisitiones generales circa superficies curvas, Comm. Soc. Göttingen Bd 6, 1823-1827. English translation in General Investigations of Curved Surfaces, Raven Press, New York, 1965.
[3] Darboux, G., Leçons sur la Théorie Générale des Surfaces, 4 vol., Gauthier-Villars, Paris, 1887-1896.
[4] Do Carmo, M.P., Differential Geometry of Curve and Surfaces, Prentice-Hall International, London, 1976.
[5] Vallée, C.; Fortuné, D., Compatibility equations in shell theory, International Journal of Engineering Science, Vol. 34, N° 5, pp 495-499, 1996.
[6] Fokas, A. S.; Gelfand, I. M., A unified method for solving linear and nonlinear evolution equations and an application to integrable surfaces, the Gelfand Mathematical Seminars, pp 75-92, Birkhäuser, Boston, MA, 1996.
[7] Fokas, A. S.; Gelfand, I. M., Surfaces on Lie groups, on Lie algebras, and their integrability, Comm. Math. Phys., Vol. 177, N° 1, pp 203-220, 1996.
[8] Fokas, A. S.; Gelfand, I. M.; Finkel, F.; Liu Q. M., A formula for constructing infinitely many surfaces on Lie algebras and integrable equations, Selecta Math.(N.S.), Vol. 6, N° 4, pp 347-375, 2000.
[9] Finkel, F.; Fokas, A.S., A new immersion formula for surfaces on Lie algebras and integrable equations. Bäcklund and Darboux transformations, The geometry of solitons (Halifax, NS, 1999), pp 207-216, CRM Proc. Lecture Notes, 29, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001.

Vendredi 25 février 2005 à 14h Frédéric Bihan (LAMA),
Méthode de Viro et Cayley trick.

Résumé : (Masquer les résumés)
La méthode de Viro est à l’heure actuelle l’un des outils les plus puissants de construction de variétés algébriques réelles avec topologie prescrite.
Au cours de cet exposé, on décrira la version de la méthode de Viro pour les intersections completes et on expliquera comment le Cayley trick permet de relier cette version à la version originale pour les hypersurfaces.

Vendredi 25 février 2005 à 10h30 Frédéric Mangolte (LAMA),
Composantes réelles des variétés uniréglées de dimension 3.

Résumé : (Masquer les résumés)
Je parlerai des avancées récentes dans la classification topologique des variétés uniréglées réelles de dimension 3. En particulier, je donnerai la preuve de l’existence d’un modèle uniréglé pour toute somme connexe d’espaces lenticulaires. Ce résultat avait été conjecturé par J. Kollár. (Travail en collaboration avec J. Huisman).

Vendredi 11 février 2005 à 15h15 Benoit Bertrand (Madrid),
Caractéristique d’Euler des hypersurfaces tropicales réelles non-singulières.

Résumé disponible sous forme de fichier PDF.

Vendredi 11 février 2005 à 10h30 Jean-Philippe Monnier (Angers),
Théorème de Clifford pour les courbes algébriques réelles.

Résumé : (Masquer les résumés)
Pour une courbe projective lisse complexe, le théorème de Clifford borne la dimension des systèmes linéaires spéciaux. On donne un équivalent du théorème de Clifford pour les courbes réelles. On regarde aussi les différents cas où il y a égalité dans l’inégalité de Clifford réelle.

Vendredi 28 janvier 2005 à 10h30 Wojciech Kucharz (Albuquerque, New Mexico, USA),
Nash cohomology of smooth manifolds.

Séminaires de l’équipe Géométrie

Année 2005