Le séminaire de l’équipe Géométrie est sous la responsabilité de
Georges Comte.
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Par année : 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019, 2020, 2021, 2022, 2023.
Jeudi 21 septembre 2023 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
À venir
Jeudi 16 mars 2023 à 14h, En ligne : Https://cnrs.zoom.us/j/97788860132?pwd=ZmNSeUwvWnByeUhzOUJXMlFtZDhSUT09
Résumé : (Masquer les résumés)
We give an explicit positive answer, in the case of reduced curve singularities, to a question of B. Teissier about the existence of a toric embedded resolution after reembedding. In the case of a curve singularity (C, O) contained in a non singular surface S such a reembedding may be defined in terms of a sequence of maximal contact curves of the minimal embedded resolution of C. We prove that there exists a toric modification, after reembedding, which provides an embedded resolution of C. We use properties of the semivaluation space of S at O to describe how the dual graph of the minimal embedded resolution of C may be seen on the local tropicalization of S associated to this reembedding. This is a joint work with Hussein Mourtada and Ana Belén de Felipe.
Jeudi 09 mars 2023 à 14h, En ligne : Https://cnrs.zoom.us/j/97788860132?pwd=ZmNSeUwvWnByeUhzOUJXMlFtZDhSUT09
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans cet exposé, je vais vous raconter comment à des polytopes suffisamment sympathiques et à d'autres objets combinatoires on a associé des variétés complexes qui leur ressemblent, comment cela a permis d'élucider des propriétés remarquables de ces objets via la théorie de Hodge classique (qui étudie la structure cohomologique des variétés complexes), comment, lorsque ces objets ne sont plus si sympathiques, il a fallu développer la théorie de Hodge combinatoire en faisant comme si une variété complexe adéquate était associée à ces objets, et comment, en réalité, on peut bien leur associer une variété adéquate mais une variété tropicale. Ce sera l'occasion de (re)découvrir polytopes, variétés toriques, matroïdes, éventails, théories de Hodge, hypercorps tropical, etc.
Jeudi 23 février 2023 à 14h, En salle TLR et en ligne : https://cnrs.zoom.us/j/97788860132?pwd=ZmNSeUwvWnByeUhzOUJXMlFtZDhSUT09
Résumé : (Masquer les résumés)
Artin et Pfister ont démontré que tout polynôme réel en n variables qui ne prend que des valeurs >=0 est somme de 2^n carrés de fonctions rationnelles. Après une introduction générale à cette thématique (le dix-septième problème de Hilbert), je présenterai des extensions de ce théorème à des corps de séries formelles ou de fonctions analytiques.
Jeudi 02 février 2023 à 14h, Salle TLR et en ligne Https://cnrs.zoom.us/j/97788860132?pwd=ZmNSeUwvWnByeUhzOUJXMlFtZDhSUT09
Résumé : (Masquer les résumés)
Une équation différentielle algébrique est fortement minimale si tout sous-ensemble définissable de son ensemble de solutions (considéré dans un corps différentiel universel dans le langage des corps différentiel) est fini ou cofini. Dans mon exposé, je commencerai par présenter cette notion, son histoire et sa relation avec des énoncés de transcendence pour les solutions d’équations différentielles algébriques non linéaires. Je présenterai ensuite un résultat d’abondance pour les équations différentielles autonomes fortement minimales.
Jeudi 26 janvier 2023 à 16h30, En salle de séminaire et sur https://cnrs.zoom.us/j/97788860132?pwd=ZmNSeUwvWnByeUhzOUJXMlFtZDhSUT09
Résumé : (Masquer les résumés)
Soit (K, ν) un corps valué, les notions de valuation augmentée, de valuation augmentée limite et de famille admise de valuations permettent de donner une description de toute valuation μ de K[x] prolongeant ν. Dans le cas où le corps K est algébriquement clos cette description est particulièrement simple et nous pouvons la réduire aux notions de paire minimale et de famille pseudo-convergente. Soient (K, ν) un corps valué hensélien et ν' l’unique extension de ν à la clôture algébrique ̄K de K et soit μ une valuation de K[x] prolongeant ν, nous étudions les extensions ̄μ de μ à ̄K[x] et nous donnons une description des valuations ̄μ_i de ̄K[x] qui sont les extensions des valuations μ_i appartenant à la famille admise associée à μ.
Jeudi 19 janvier 2023 à 14h, En salle TLR et sur https://cnrs.zoom.us/j/97788860132?pwd=ZmNSeUwvWnByeUhzOUJXMlFtZDhSUT09
Résumé : (Masquer les résumés)
Un problème classique dû à Abel est de déterminer si une équation différentielle y′ = ηy admet une solution non triviale y algébrique sur C(x) lorsque η est une fonction algébrique donnée sur C(x). Risch a produit un algorithme qui, étant donné η, détermine s'il existe une solution algébrique ou non. Dans un travail en commun avec Eric Delaygue (Lyon), nous avons donné un point de vue différent lorsque η admet un développement de Puiseux à coefficients rationnels en 0 : il existe une solution algébrique non triviale de y′=ηy si et seulement si les coefficients du développement de Puiseux de η en 0 satisfont les congruences de Gauss pour presque tous les nombres premiers. Nous avons appliqué notre critère afin de déterminer complètement les équations y′=ηy avec une solution algébrique lorsque xη(x) est une série hypergéométrique algébrique à paramètres rationnels, ce qui nous a permis de prouver une prédiction de Golyshev.
Jeudi 15 décembre 2022 à 15h, En salle TLR et en ligne : Https://cnrs.zoom.us/j/97788860132?pwd=ZmNSeUwvWnByeUhzOUJXMlFtZDhSUT09
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous rappellerons quelques tenants et aboutissants de l'étude des familles d'arcs sur une variété algébrique singulière, initiée par John Nash. Puis nous expliquerons des progrès récents, obtenus en collaboration avec Kevin Langlois et Hussein Mourtada, dans le cas où la variété est équipée d'une action de tore dont les orbites génériques sont de codimension 1.
Jeudi 08 décembre 2022 à 15h30, En salle TLR et sur https://cnrs.zoom.us/j/97788860132?pwd=ZmNSeUwvWnByeUhzOUJXMlFtZDhSUT09
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans cet exposé j'introduirai les surfaces K3 et leurs groupes d'automorphismes, en particulier je montrerai comme la théorie des réseaux joue un rôle clé dans cette étude. Je montrerai des progrès récents sur les automorphismes qui agissent non-symplectiquement et qui sont d'ordre un multiple de sept. Il s'agit ici d'un des cas qui est encore ouvert en vue d'une classification complète des groupes d'automorphismes finis qui agissent sur les surfaces K3. Si le temps le permet je donnerai des exemples qui utilisent les fibrations elliptiques. Ces résultats sont obtenus en collaboration avec R. Bell, P. Comparin, J. Li, A. Rinc'on-Hidalgo, A. Zanardini.
Jeudi 08 décembre 2022 à 14h, En salle TLR et sur https://cnrs.zoom.us/j/97788860132?pwd=ZmNSeUwvWnByeUhzOUJXMlFtZDhSUT09
Résumé : (Masquer les résumés)
Je présenterai des travaux récents qui mettent en scène des hypersurfaces cubiques projectives complexes de dimension trois et les revêtements cycliques ramifiés au-dessus, pour étudier la riche et belle géométrie de la variété de Fano des droites qu'ils contiennent et le comportement de l'automorphisme du revêtement lors de la dégénérescence vers une cubique à singularités isolées.
Mercredi 07 décembre 2022 à 11h30, Salle TLR
Résumé : (Masquer les résumés)
À venir
Jeudi 01 décembre 2022 à 14h, Salle TLR et en ligne : Https://cnrs.zoom.us/j/97788860132?pwd=ZmNSeUwvWnByeUhzOUJXMlFtZDhSUT09
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans cet exposé, on montrera que toute variété algébrique réelle de dimension n contient des hypersurfaces algébriques réelles de degré d dont les nombres de Betti croissent en O(d^n), lorsque le degré d tend vers l’infini. Ceci est l'ordre de croissance maximal autorisé par l'inégalité de Smith-Thom. L’existence de telles hypersurfaces est obtenue à l’aide de techniques probabilistes.
Jeudi 10 novembre 2022 à 14h, Https://cnrs.zoom.us/j/97788860132?pwd=ZmNSeUwvWnByeUhzOUJXMlFtZDhSUT09
Résumé : (Masquer les résumés)
Weinstein a montré que toute variété de Poisson holomorphe est localement le produit d'une variété symplectique et d'une variété de Poisson dont le rang est nul au point considéré. En particulier, toute variété de Poisson possède un feuilletage naturel dont les feuilles sont des variétés symplectiques. Dans un travail en collaboration avec Jorge Pereira, Brent Pym et Frédéric Touzet, nous montrons que si une variété de Poisson compacte kählerienne X a une feuille compacte L dont le groupe fondamental est fini alors, à un revêtement étale fini près, X est le produit du revêtement universel de L et d'une autre variété de Poisson.
Jeudi 13 octobre 2022 à 14h, Https://cnrs.zoom.us/j/97788860132?pwd=ZmNSeUwvWnByeUhzOUJXMlFtZDhSUT09
Résumé : (Masquer les résumés)
Cet exposé présentera l’aspect feuilleté des géométries (connexions) de Cartan qui sont des structures géométriques infinitésimalement modelées sur des espaces homogènes. Après une introduction du cadre classique, nous allons montrer des résultats de classification pour les feuilletages holomorphes avec des géométries de Cartan transverses sur les variétés de Calabi-Yau et sur les variétés rationnellement connexes. L’exposé s’attachera à introduire le cadre classique et les motivations de manière géométrique et accessible.
Jeudi 30 juin 2022 à 16h, Https://cnrs.zoom.us/j/97788860132?pwd=ZmNSeUwvWnByeUhzOUJXMlFtZDhSUT09
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous ferons 'quelques observations sur le schéma des arcs'.
Jeudi 23 juin 2022 à 16h, En salle de séminaire et sur Https://zoom.us/j/93786428260?pwd=RVY2cXduU25rVzZhdnJpeERuTFh3UT09
Résumé : (Masquer les résumés)
J'introduirai une notion de décomposition en anses pincées pour les complexes simpliciaux finis et en montrerai l'existence après subdivisions stellaires en des facettes. Ces décompositions étendent les effeuillages classiques. Toute fonction de Morse discrète induit une telle décomposition sur la deuxième subdivision barycentrique.
Jeudi 16 juin 2022 à 16h, En salle de séminaire et sur Https://zoom.us/j/93786428260?pwd=RVY2cXduU25rVzZhdnJpeERuTFh3UT09
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans cet exposé, on considérera les ensembles algébriques réels munis d'une structure polynomiale de groupe et on mettra en avant quelques différences avec les groupes algébriques complexes. Nous nous intéresserons ensuite au cas des groupes algébriques réels compacts, aux propriétés plus proches de celles des groupes algébriques complexes. Enfin, on étudiera quelques propriétés géométriques des actions polynomiales des groupes algébriques réels compacts sur les ensembles algébriques réels, notamment en termes d'orbites et de quotients.
Jeudi 16 juin 2022 à 14h, En salle de séminaire et sur Https://zoom.us/j/93786428260?pwd=RVY2cXduU25rVzZhdnJpeERuTFh3UT09
Résumé : (Masquer les résumés)
In a previous paper we have introduced the notion of geometric directional bundle of a singular space, in order to introduce global bi-Lipschitz invariants. Then we have posed the question of whether or not the geometric directional bundle is stabilised as an operation acting on singular spaces. In this talk we give a positive answer in the case where the singular spaces are subanalytic sets, thus providing a new invariant associated with the subanalytic sets.
Jeudi 02 juin 2022 à 16h, En salle de séminaire et sur Https://zoom.us/j/93786428260?pwd=RVY2cXduU25rVzZhdnJpeERuTFh3UT09
Résumé : (Masquer les résumés)
Tout polynôme multivarié P(X_1,...,X_n) peut être écrit comme une somme de monômes, i.e., une somme de produits de variables et de constantes du corps. La taille naturelle d'une telle expression est le nombre de monômes. Mais, que se passe-t-il si on rajoute un nouveau niveau de complexité en considérant les expressions de la forme : somme de produits de sommes (de variables et de constantes) ? Maintenant, il devient moins clair comment montrer qu'un polynôme donné n'a pas de petite expression. Dans cet exposé nous verrons que ce problème est lié à des conjectures célèbres de complexité algorithmique (comme P <> NP) et nous montrerons ensuite comment le résoudre. Plus précisément, nous pouvons montrer que certains polynômes explicites n'ont pas de représentations ``somme de produits de sommes'' (SPS) de taille polynomiale. Nous pouvons aussi obtenir des résultats similaires pour les SPSP, SPSPS, etc... pour toutes les expressions de profondeur constante.
Jeudi 19 mai 2022 à 16h, En salle de séminaire et sur Https://zoom.us/j/93786428260?pwd=RVY2cXduU25rVzZhdnJpeERuTFh3UT09
Résumé : (Masquer les résumés)
I will present a generalization of Gabrielov's rank theorem for families of rings of power series which we call W-temperate. Examples include the family of complex analytic functions and of the Eisenstein series. I will provide the definition of Eisenstein series, and will discuss how the result allows us to give new proofs of the following two results of W. Pawlucki: I) The non regular locus of a complex or real analytic map is an analytic set. II) The set of semianalytic or Nash points of a subanalytic set X is a subanalytic set, whose complement has codimension two in X. This is a work in collaboration with Octave Curmi and Guillaume Rond.
Jeudi 28 avril 2022 à 16h, En salle de séminaire et sur Https://zoom.us/j/93786428260?pwd=RVY2cXduU25rVzZhdnJpeERuTFh3UT09
Résumé : (Masquer les résumés)
I will talk about a joint paper with Jacek Bochnak containing an appendix written by János Kollár. Let X be a real algebraic variety and let Y be a homogeneous space for some linear real algebraic group. We prove that a continuous map f: X -> Y can be approximated by regular maps in the compact-open topology if and only if it is homotopic to a regular map. Taking Y=S^p , the unit p-dimensional sphere, we obtain solutions of several problems that have been open since the 1980's and which concern approximation of maps with values in the unit spheres. This has several consequences for approximation of maps between unit spheres. For example, we prove that for every positive integer n every continuous map from S^n into S^n can be approximated by regular maps. Up to now such a result has only been known for five special values of n, namely, n=1, 2, 3, 4 or 7.
Jeudi 07 avril 2022 à 16h, En salle de séminaire et sur Https://zoom.us/j/93786428260?pwd=RVY2cXduU25rVzZhdnJpeERuTFh3UT09
Résumé : (Masquer les résumés)
En géométrie diophantienne, le principe de Batyrev-Manin-Peyre décrit conjecturalement le comportement du nombre de points rationnels de hauteur bornée d’une variété de Fano définie sur un corps de nombres, lorsque ladite borne tends vers l’infini. Étant donnée une variété de Fano sur C, un analogue géométrique de ce principe consiste à considérer l’espace de modules des courbes rationnelles de « grand degré » dans cette variété. Un cadre naturel pour une telle étude est celui de l’intégration motivique ; il s’agit alors de questionner la convergence, après une normalisation adéquate dans l’anneau d’intégration motivique, de la classe de l’espace de module des courbes de degré arbitrairement grand. Il est de plus attendu que son hypothétique limite puisse être décrite par un produit eulérien motivique, jouant ainsi le rôle du nombre de Tamagawa défini par Peyre dans le cadre arithmétique. Dans cet exposé, on présentera les grandes lignes qui mènent à l’énoncé d’un tel principe et à la description de la limite attendue, en illustrant par des exemples pour lesquels le résultat est connu. Puis on montrera qu’affiner ce principe, en introduisant une notion d’équidistribution de courbes, ouvre la voie à de nouveaux résultats.
Jeudi 31 mars 2022 à 16h, Https://zoom.us/j/93786428260?pwd=RVY2cXduU25rVzZhdnJpeERuTFh3UT09
Résumé : (Masquer les résumés)
On donnera une définition de structure réelle sur une variété tropicale projective, définition qui s'inspire de la méthode du patchwork de Viro. Dans le cas local on montrera qu'une structure réelle sur un éventail matroidal est équivalent à une orientation sur la matroide sous jacente. On generalisera ensuite le théorème du patchwork à ce cadre. C'est un travail en commun avec Kris Shaw et Johannes Rau.
Jeudi 17 mars 2022 à 16h, En salle de séminaire et sur Https://zoom.us/j/93786428260?pwd=RVY2cXduU25rVzZhdnJpeERuTFh3UT09
Résumé : (Masquer les résumés)
W. Pawlucki a montré en 1990 que l'ensemble des points en lesquels un ensemble sous-analytique est semi-analytique est lui-même sous-analytique. Le but de cet exposé est d'expliquer cette phrase et de présenter une nouvelle stratégie de preuve de ce résultat. C'est un travail en commun avec André Belotto et Octave Curmi.
Jeudi 10 mars 2022 à 16h, Https://zoom.us/j/93786428260?pwd=RVY2cXduU25rVzZhdnJpeERuTFh3UT09
Résumé : (Masquer les résumés)
On propose une construction géométrique permettant de comprendre ensemble les fibres de Milnor topologique et motivique associées à une application régulière complexe. Cette construction passe soit par la géométrie logarithmique, soit par une version adaptée de la déformation (réelle orientée) sur le cône normal. Travail en collaboration avec J.B. Campesato et A. Parusinski.
Jeudi 03 mars 2022 à 16h, Https://zoom.us/j/93786428260?pwd=RVY2cXduU25rVzZhdnJpeERuTFh3UT09
Résumé : (Masquer les résumés)
In this seminar I will discuss the so called ``zonoid algebra'', a construction introduced in a recent work (joint with Breiding, Bürgisser and Mathis) which allows to put a ring structure on the set of zonoids (i.e. Hausdorff limits of Minkowski sums of segments). This framework gives a new perspective on classical objects in convex geometry, and it allows to introduce new functionals on zonoids, in particular generalizing the notion of mixed volume. Moreover this algebra plays the role of a probabilistic intersection ring for compact homogeneous spaces.
Jeudi 16 décembre 2021 à 16h, Https://zoom.us/j/95789309400?pwd=NzM0SlNBKzhEMi9qK3dUdHhNWlo4QT09
Résumé : (Masquer les résumés)
Let f ∈ Z[x_1,...,x_n] be a non-constant polynomial. Let p be a prime number and m be a positive integer. We associate to f, p, m the exponential sum Ef(p,m):=1/p^(mn) ∑_{x∊(Z/pmZ)n} exp(2πif(x)/p^m). Let σ be a positive real number. Suppose that for each prime number p, there is a positive constant c_p such that |Ef(p,m)|≤c_pp^{-mσ} for all m ≥ 2. Igusa's conjecture for exponential sums predicts that one can take c_p independent of p in the above inequality. This conjecture relates to the existence of a certain adèlic Poisson summation formula and the estimation of the major arcs in the Hardy-Littlewood circle method towards the Hasse principle of f. In this talk, I will recall Igusa's conjecture for exponential sums and discuss some new progress and open questions relating this conjecture to the singularities of the hypersurface de ned by f . This talk is based on recent joint work with Wim Veys and with Raf Cluckers
Jeudi 16 décembre 2021 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
La géométrie tropicale est un outil puissant qui permet via l'utilisation d'un théorème de correspondance de ramener des problèmes énumératifs algébriques, par exemple compter le nombre de courbes d'un certain degré passant par un nombre de points convenables, à un problème combinatoire. Ces derniers sont plus simples à appréhender mais parfois compliqués à résoudre. De plus, le passage dans le monde tropical permet de définir de mystérieux invariants dits raffinés, obtenus en comptant les solutions d'un problème énumératif avec des multiplicités polynomiales. Dans cet exposé on s'intéressera à l'énumération de courbes et aux invariants raffinés dans les surfaces abéliennes et dans les fibrés en droites au dessus d'une courbe elliptique. Lien visio : https://zoom.us/j/95789309400?pwd=NzM0SlNBKzhEMi9qK3dUdHhNWlo4QT09
Jeudi 09 décembre 2021 à 16h, Https://webconf.math.cnrs.fr/b/mic-v2z-war
Résumé : (Masquer les résumés)
I'll describe some recent advances in the area of point-counting: that is, results establishing upper bounds on the number of algebraic points of given height and degree in a (usually transcendental) set. I'll explain how, following an idea of Schmidt, these results can be used to deduce lower bounds for the Galois degrees of special points in some arithmetic situations. After reviewing some more classical contexts, I'll discuss how this strategy is applied (in a joint work with Schmidt and Yafaev) to obtain Galois lower bounds for special points in general Shimura varieties (where the more classical abelian methods do not seem to apply) conditional on suitable height bounds. In particular, Andre-Oort is shown to follow from these conjectural height bounds. Very recently, Pila-Shankar-Tsimerman proved these height bounds, thus finishing the proof of general Andre-Oort.
Jeudi 02 décembre 2021 à 16h, Salle TLR
Résumé : (Masquer les résumés)
One approch to understand the singularities of a set X (e.g. of an algebraic subset of ℂ^n) consists in finding a stratification of that set. If a point x ∈ X lies in a d-dimensional stratum, then intuitively, a neighbourhood of x is roughly translation invariant in d dimensions. After replacing ℂ by a suitable field extension K “containing infinitesimal elements” (e.g. K = ℂ((t))), we obtain a precise notion of x having an infinitesimal neighbourhood which is roughly translation invariant in d dimensions. This allows us to define a canonical stratification of X, and by looking at even smaller balls near x, associate some invariants to the singularity at x. I will explain how this works, and hopefully, I will find the time to show, as an example application, how from this, one can recover some information about Poincaré series. This is joint work (in progress) with David Bradley-Williams.
Jeudi 18 novembre 2021 à 16h, Https://webconf.math.cnrs.fr/b/mic-v2z-war
Résumé : (Masquer les résumés)
Soit X une variété algébrique affine complexe. La ``seminormalisation de X'' est une variété algébrique X^+ obtenue en recollant les points de la normalisation se trouvant au-dessus d’un même point de X. L'un des intérêts de la seminormalisation provient du fait qu’elle possède des singularités particulières tout en restant liée à X par un homéomorphisme fini et birationnel. Le résultat principal que nous présenterons est qu'il y a un isomorphisme entre l'anneau des fonctions polynomiales sur X^+(C) et l'anneau des fonctions rationnelles de X qui s'étendent par continuité euclidienne sur X(C). Nous donnerons quelques caractérisations de ce type de fonctions, parlerons de leur lien avec les fonctions régulues et enfin nous nous en servirons pour construire quelques exemples de seminormalisations.
Jeudi 28 octobre 2021 à 16h, Https://webconf.math.cnrs.fr/b/mic-v2z-war
Résumé : (Masquer les résumés)
If U is an open connected subset of R^n and f is a real-valued harmonic function on U, then what can be said about the structure on the real field generated by f? In this generality, the question is only heuristic; indeed, it is rather hopeless without some reasonable tameness conditions on the boundary of U (e.g., U=R^n). I will give a brief survey of what I know (which is far outweighed by what I do not know). There are connections to open problems in the associated analytic geometry.
Jeudi 28 octobre 2021 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
In this talk, we will show that given a definable set X of IR^n with empty interior, there exists a definable bi-Lipschitz homeomorphism h from IR^n to IR^n such that h(X) has a finite set of regular projections (in the sense of Mostowski). A consequence of this result is that Parusinski's regular cover theorem holds for definable sets in an arbitrary o-minimal structure
Jeudi 14 octobre 2021 à 17h, Salle TLR
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans un article célèbre, Raynaud et Gruson ont développé une technique d'aplatissement par éclatements dans en géométrie algébrique (à la Grothendieck). Je commencerai par rappeler leurs résultats, puis expliquerai comment mettre en œuvre ce type de méthode dans le cadre des espaces de Berkovich, et les difficultés à surmonter. Je donnerai aussi quelques applications, et notamment une interprétation géométrique d'un résultat d'élimination des quantificateurs dans les corps valués algébriquement clos avec fonctions analytiques dû à Cluckers et Lipshitz.
Jeudi 23 septembre 2021 à 16h, Https://webconf.math.cnrs.fr/b/mic-v2z-war
Résumé : (Masquer les résumés)
In view of recent applications of o-mininality to number theory and algebraic geometry, it is natural to reflect on the possible definability of important functions such as Euler's Gamma function and Riemann's zeta function. While none of these two functions is definable in the classical structures mainly used in applications, we show that they are definable in a common o-minimal expansion of the real field. The construction of this new structure is based on an appropriate version of Borel-Laplace summation theory. Joint work with T. Servi and P. Speissegger.
Jeudi 01 juillet 2021 à 17h, Https://webconf.math.cnrs.fr/b/mic-v2z-war
Résumé : (Masquer les résumés)
The Euclidean distance degree (EDD) of a variety X in R^n measures the algebraic complexity of computing the point of X closest to a general point u in R^n. It is the number of critical points of the complexified distance function from u to X. Known formulas involve polar classes of the conormal variety to X or Chern classes of X. In this talk, I will discuss formulas of a different character, when X is a hypersurface whose defining equation is general given its Newton polytope. In this case, the EDD is shown to be the mixed volume of the critical point equations. This uses Bernstein's Other Theorem, which is of independent interest. We give an interesting closed formula for the EDD when the Newton polytope is a rectangular parallelepiped. This is joint work with Paul Breiding and James Woodcock.
Jeudi 24 juin 2021 à 17h, Https://webconf.math.cnrs.fr/b/mic-v2z-war
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans cet exposé je définirais une nouvelle notion de minimalité, la h-minimalité, pour les corps henséliens de caractéristique nulle qui généralise les autres notions de minimalité pour les corps valués (C, P, V…) et ne restreint pas, contrairement aux notions précédentes, les corps résiduels et groupes de valeurs possibles. Cette notion est définie, par analogie avec l’o-minimalité, par le fait que les ensembles définissables sont contrôlés par un nombre fini de points. Contrairement à l’o-minimalité, il faut porter une attention particulière aux paramètres de définition des ensembles définissables, ce qui nous amène à définir toute une famille de notions de h-minimalité. Dans un second temps, j’exposerai les conséquences de la h-minimalité, dont la propriété du jacobien qui joue un rôle central dans le développement de l’intégration motivique, mais aussi des variantes en degré et dimensions supérieures. (travail en commun avec R. Cluckers, I. Halupczok et F. Vermeulen)
Jeudi 18 mars 2021 à 16h, Https://webconf.math.cnrs.fr/b/mic-v2z-war
Résumé : (Masquer les résumés)
Je présenterai la notion de sous-groupes convexe-cocompacts du groupe des isométries de l'espace hyperbolique. Ainsi, que plusieurs façons de généraliser cette notion à d'autres groupes. Le but de l'exposé sera d'expliquer pourquoi il n'est pas si simple que cela de trouver la bonne définition de ``sous-groupes convexe-cocompacts''. Une fois la bonne définition donnée et motivée, je présenterai la construction d'exemples de tels sous-groupes via des groupes de réflexions (Travail en commun avec Jeff Danciger, François Guéritaud, Fanny Kassel et Gye-Seon Lee). Les groupes de réflexions sont les images des groupes de Coxeter par des représentations introduites par Vinberg dans les années 60. Ces représentations permettent de faire agir les groupes de Coxeter sur des convexes de l'espace projectif réel. On caractérisera parmi ces représentations, lesquelles fournissent des sous-groupes fortement convexe-cocompacts.
Jeudi 11 février 2021 à 17h, (en visio)
Résumé : (Masquer les résumés)
Je présente un travail récent en commun avec A. Aizenbud, continuant le travail avec Halupczok, Loeser et Raibaut sur les distributions p-adiques et motiviques. J'explique notre réponse à une question posée par Drinfeld et Aizenbud. Celle-ci utilise la résolution de singularités, la théorie de modèles, l'intégration motivique (et p-adique, uniforme en p) et la transformation de Fourier. J'explique les questions ouvertes pour généraliser tout ceci vers un cadre motivique au lieu de p-adique.
Jeudi 28 janvier 2021 à 17h, (en visio)
Résumé : (Masquer les résumés)
Soit Omega inclus dans R^n, un ensemble de mesure finie tel que pour un rayon r (inférieur au diamètre), le volume de l'intersection de Omega avec toute boule de rayon r centrée en un point du bord est constant. Nous démontrons que Omega doit être une boule s'il est ouvert et connexe, ou s'il est mesurable de périmètre fini et indécomposable. Dans le cas le plus général, sous une hypothèse qui remplace la connexité/indécomposabilité, un ensemble mesurable satisfaisant cette propriété doit etre une réunion de boules identiques. La preuve est basée sur une réinterprétation de la méthode des hyperplans mobiles d'Alexandrov-Serrin dans le contexte d'ensembles mesurables. En effet, ce résultat peut-etre vu comme un théorème de rigidité à la Alexandrov pour des ensembles mesurables à courbure moyenne non locale constante. Travail en collaboration avec I. Fragalà (Milan).
Jeudi 21 janvier 2021 à 16h, (en visio)
Résumé : (Masquer les résumés)
Le groupe de Grothendieck des variétés est le quotient du groupe abélien libre sur les classes d'isomorphismes de variétés algébriques par des relations qui permettent de découper une variété en une sous-variété et son complémentaire. Il a également une structure d'anneau provenant du produit de variétés. De nombreux résultats de théorie des nombres ont des analogues, dits motiviques, qui peuvent être formulés dans cet anneau et qui sont de nature plus géométrique. Nous allons présenter un résultat obtenu en collaboration avec Sean Howe, qui est un analogue motivique d'un célèbre théorème de Poonen; il s'agit de comprendre la probabilité qu'un polynôme homogène à n variables satisfasse certaines conditions sur son développement de Taylor en tout point, lorsque le degré tend vers l'infini. Un outil essentiel est l'introduction d'une notion de produit eulérien motivique pour écrire la valeur de la probabilité limite.
Jeudi 17 décembre 2020 à 17h, (en visio)
Résumé : (Masquer les résumés)
It is well known that two generic quadric surfaces intersect in a nonsingular quartic space curve, but when the intersection is not transverse this intersection curve may degenerate to a finite number of different possible types of singular curves. In the nice paper by Farouki et al. (1989), the authors formulate a way of computing the condition for a degenerate intersection in this case, which refines in the real case and with an algorithmic point of view a classical treatise by Bromwich (1906). Independently, Schläfli (1953) studied the degenerate intersection of two hypersurfaces described by multilinear equations. In joint work with S. di Rocco and R. Morrison, we present a general framework of iterated sparse discriminants to characterize the singular intersection of hypersurfaces with a given monomial support A, which generalizes both previous situations. We study the connection of iterated discriminants with the notion of mixed discriminant and the singularities of the sparse discriminant associated to A.
Jeudi 10 décembre 2020 à 17h, (en visio)
Résumé : (Masquer les résumés)
Les fonctions E sont des séries entières à coefficients algébriques qui satisfont à une équation différentielle et à certaines conditions de croissance ; elles ont été introduites par Siegel dans un article révolutionnaire de 1929 avec le but de généraliser les théorèmes de transcendance pour les valeurs de la fonction exponentielle. Outre l’exponentielle, des exemples incluent les fonctions de Bessel et une riche famille de séries hypergéométriques. Siegel a posé la question : est-ce que toute fonction E peut s’écrire comme une expression polynomiale en des fonctions hypergéométriques ? Dans un travail récent, Fischler et Rivoal montrent qu’une réponse positive à cette question contredirait une forme de la conjecture de périodes de Grothendieck. Dans l'exposé je décrirai une approche inconditionnelle basée sur la théorie de Galois différentielle. Il s’agit d’un travail en commun avec Peter Jossen.
Jeudi 12 novembre 2020 à 14h, (en visio)
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans cet exposé nous allons nous intéresser aux structures réelles de certaines variétés algébriques complexes munies d'une action d'un groupe algébrique réductif : les variétés presque homogènes. Nous verrons comment déterminer si de telles structures existent et, le cas échéant, comment les décrire et les dénombrer. En particulier, nous tâcherons d'illustrer notre approche sur deux familles classiques de variétés presque homogènes : les variétés horosphériques (qui incluent les variétés toriques et les variétés de drapeaux) et les SL(2)-variétés presque homogènes de dimension 3. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Lucy Moser-Jauslin (IMB, Dijon).
Jeudi 05 novembre 2020 à 15h, (en visio)
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous nous intéressons aux deux problèmes suivants : (1) Le problème de prolongement de Whitney consistant à déterminer si une fonction g:X->R définie sur un fermé Xsubset R^n admet un prolongement de classe C^m sur R^n (2) Le problème de Brenner-Fefferman-Hochster-Kollár portant sur l'existence d'une solution G pour un système A(x)G(x)=F(x) où A est une matrice de fonctions définies sur R^n Dans un travail en collaboration avec E. Bierstone et P.D. Milman nous démontrons que si les données de ces problèmes sont semi-algébriques alors il en est de même pour leurs solutions. Néanmoins nos résultats impliquent une perte de régularité. Formellement, pour (1), nous montrons que pour X semi-algébrique, il existe r:N->N telle que si g:X->R semi-algébrique admet un prolongement de classe C^(r(m)) alors g admet un prolongement semi-algébrique de classe C^m. Concernant (2), nous montrons qu'étant donnée A semi-algébrique, il existe r:N->N telle que si F est semi-algébrique et si A(x)G(x)=F(x) admet une solution G de classe C^(r(m)), alors il existe une solution semi-algébrique de classe C^m.
Jeudi 22 octobre 2020 à 14h, (en visio)
Résumé : (Masquer les résumés)
Une application polynomiale dominante du plan complexe dans lui-même donne lieu à un ensemble fini de courbes et de points isolés en dehors de son image. Z. Jelonek a fourni une borne supérieure sur le nombre de ces points isolés qui ne dépend que des degrés des polynômes de l'application, et qui est quadratique en ces degrés. J'introduirai dans cet exposé une grande famille d'applications dominantes non propres pour lesquelles cette borne supérieure dépend linéairement de degrés. J'illustrerai également une construction montrant que cette borne supérieure est asymptotiquement exacte.
Jeudi 20 février 2020 à 15h30
Résumé : (Masquer les résumés)
On étudie la version réelle suivante d'un théorème célèbre d'Abhyankar-Moh : quelles applications rationnelles de la droite affine dans le plan affine, dont le lieu réel est un plongement fermé non singulier de R dans R^2, sont équivalentes, à difféomorphisme birationnel du plan près, au plongement trivial ? Dans ce cadre, on montre qu’il existe des plongements non équivalents. Certains d’entre eux sont détectés pas la non-négativité de la dimension de Kodaira réelle du complémentaire de leur image. Ce nouvel invariant est dérivé des propriétés topologiques de « faux plans réels » particuliers associés à ces plongements. (Travail en commun avec Adrien Dubouloz.)
Jeudi 13 février 2020 à 14h, Amphi 4 Cantons
Résumé : (Masquer les résumés)
Let $R$ be a real closed field. We prove that if $R$ is uncountable, then any separately Nash (resp. arc-Nash) function defined over $R$ is semialgebraic (resp. continuous semialgebraic). To complete the picture, we provide an example showing that the assumption on $R$ to be uncountable cannot be dropped. Moreover, even if $R$ is uncountable but non-Archimedean then the shape of the domain of a separately Nash function matters for the conclusion. For $R = R$ we prove that arc-Nash functions coincide with arc-analytic semialgebraic functions. Joint work with W. Kucharz and A. El-Siblani.
Jeudi 06 février 2020 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
In 1979 O. Zariski proposed a general theory of equisingularity for algebraic or algebroid hypersurfaces over an algebraically closed field of characteristic zero. It is based on the notion of dimensionality type that is defined recursively by considering the discriminants loci of subsequent ``generic'' projections. The singularities of dimensionality type 1 are isomorphic to the equisingular families of plane curve singularities. In this talk we consider the case of dimensionality type 2, the Zariski equisingular families of surface singularities in 3-space. Using an approach going back to Briançon and Henry, we show that in this case generic linear projections are generic in the sense of Zariski (this is still open for dimensionality type greater than 2). Over the field of complex numbers, we show that such families are bi-Lipschitz trivial, by construction of an explicit Lipschitz stratification. (Based on joint work with L. Paunescu.)
Jeudi 19 décembre 2019 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Cet exposé est une introduction élémentaire aux espaces de Finsler qui constituent la généralisation la plus naturelle de la géométrie riemannienne. Après une présentation des principales propriétés de la géométrie de Finsler, nous verrons à travers quelques exemples comment celle-ci apparaît dans diverses situations
Jeudi 21 novembre 2019 à 14h30
Résumé : (Masquer les résumés)
En 1933 Derrick Lehmer propose une méthode pour trouver de grands nombres premiers dans des suites récurrentes linéaires ayant comme ingrédients principaux des polynômes à coefficients entiers de très petite mesure de Mahler. Le problème de Lehmer est de trouver de tels polynômes de mesure < 1.1762. Ce nombre, dit nombre de Lehmer, est resté la plus petite valeur connue. La Conjecture de Lehmer stipule qu'il n'en existe pas de mesure arbitrairement proche de un. On présentera les fonctions analytiques (déterminants de Fredholm généralisés, fonctions zêta dynamiques) du système dynamique de numération de Rényi-Parry en base entier algébrique variable (beta-shift), pour montrer comment certaines propriétés de ces fonctions donnent des points d'attaque de cette Conjecture, et la fracturabilité des polynômes minimaux de ces bases. On fera le lien avec l'algorithme de Schur développé par Dufresnoy, Pisot, Amara, Bertin, pour les plus petits nombres de Pisot. On évoquera le problème des valeurs d'adhérence (Deninger, Rodriguez-Villegas) de l'ensemble de mesures de Mahler de nombres algbériques dans ce contexte.
Jeudi 14 novembre 2019 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans un article de 1996, van den Dries et Miller conjecturent que la structure R_{an, x^R} obtenue par adjonction des puissances réelles aux sous-analytiques (globaux) est maximale parmi les réduites polynomialement bornées de la structure R_{an, exp} obtenue en ajoutant l'exponentielle (non restreinte) aux sous-analytiques. On montre un analogue polynomialement borné de cette conjecture. Plus précisément, étant donné L un sous corps de R et S une structure polynomialement bornée, la structure S_{x^L} (obtenue en ajoutant à S les puissances réelles avec exposant dans L) est maximale parmi les réduites de S_{x^R} (obtenue en ajoutant toutes les puissances réelles à S) ayant L comme corps d'exposants. Autrement dit, si X est un ensemble que l'on peut définir à l'aide de S et de puissances réelles, seules les puissances qui se redéfinissent depuis S et X sont nécessaires pour définir X; les autres exposants, cachés dans la définition de X, peuvent s'éviter. On déduit le corollaire suivant qui répond, au niveau des fonctions d'une variable, à une généralisation de la conjecture de van den Dries et Miller: si f:R->R est définissable dans S_{exp} et si S_{f} est polynomialement bornée de corps d'exposants L, alors f est en fait définissable dans S_{x^L}. (Travail commun avec G. Jones)
Jeudi 24 octobre 2019 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
I will discuss joint work with Harry Schmidt in which we give an effective version of a result of Bertrand, Masser, Pillay and Zannier on families of multiplicative extensions of an elliptic curve. In certain cases we obtain extra uniformity. The methods involve pfaffian functions. In particular, previous work with Schmidt on pfaffian definitions of elliptic functions plays a key role.
Jeudi 10 octobre 2019 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
We propose a new mathematical and computational tool for infering the geometry of shapes known only through approximations like triangulated or digital surfaces. Its originality is to decouple the positionof the shape boundary from its normal vector field. To do so, we extend a classical tool of geometric measure theory, the normal cycle, so that it takes as input not only a surface but also a normal vector field. We formalize it as a current in the Grassmannian Gr(2;R3). By choosing then adequate differential forms, we define geometric measures like area, mean and Gaussian curvatures. We then show the stability of these measures when both position and normal input data are approximations of the underlying continuous shape. As a byproduct, our tool is able to correctly estimate curvatures over polyhedral approximations of shapes, even when their natural normal are not correct (e.g. the Schwarz lantern, digital surfaces), as long as an external convergent normal vector field is provided. Finally, the accuracy, convergence and stability under noise perturbation is evaluated experimentally onto digital surfaces.
Jeudi 03 octobre 2019 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
The theory of fewnomials seeks quantitative bounds on polynomial systems in terms of the number of nonzero monomials occurring in the system. These bounds can be of different nature. The first focus of the fewnomial theory was to find bounds for the number of real solutions of multivariate sparse systems. Nevertheless, one can also ask for bounds on the maximal multiplicity of a complex solution to a sparse polynomial system. In this work, we study bivariate systems defined by two curves. We consider a mixed model in which one curve has a bounded number of monomials, while the other has a bounded degree. We show that the intersection multiplicity of any isolated solution of such system is polynomially bounded by these two parameters, provided that the solution has nonzero coordinates. This is similar to the real case, since an analogous bound is known for the number of real solutions of these types of systems. We also discuss the connections between sparse polynomials and algebraic complexity theory. This is joint work with Pascal Koiran.
Jeudi 19 septembre 2019 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
On introduit de nouveaux groupes de Kähler, compactifiant les groupes modulaires et sur lesquels les systèmes locaux de TQFT se prolongent. Ceci permet notamment de montrer que les surfaces algébriques introduites il y a 20 ans par Bogomolov-Katzarkov pour fournir des contre-exemples à la conjecture de Shafarevich de convexité holomorphe vérifient cet énoncé sauf dans des cas résiduels. Travail en cours avec Louis Funar
Jeudi 20 juin 2019 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
La géométrie Lipschitz est une branche de la théorie des singularités qui étudie les données métriques d'un germe d'espace analytique complexe et l'invariance de celles-ci à homéomorphisme bi-Lipschitz près. Après en avoir introduit les bases, je vais parler d'une nouvelle approche de l'étude de ces invariants, et en particulier des taux de croissance Lipschitz internes, basée sur la combinatoire d'un espace de valuations (l'entrelacs non archimédien - à la Berkovich - de la singularité). Je vais décrire précisément la structure métrique interne d'un germe de surface singulière complexe en montrant que ses taux de croissance déterminent et sont déterminés par des données géométriques globales : la topologie du germe, ses sections hyperplanes et ses courbes polaires génériques. Ceci est un travail en commun avec André Belotto et Anne Pichon.
Jeudi 13 juin 2019 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Travail en commun avec J.P. Monnier et R. Quarez. La normalisation faible d'une variété algébrique complexe est une variété intermédiaire entre la variété et sa normalisation, qui est en bijection avec la variété de départ. On développe une notion analogue pour les variétés algébriques réelles en s'appuyant sur l'anneau des fonctions rationnelles continues.
Jeudi 23 mai 2019 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
à venir
Jeudi 11 avril 2019 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Le problème d'apprentissage par renforcement (deep learning) des réseaux de neurones artificiels multicouches a suscité beaucoup d'intérêt ces derniers temps d'un point de vue mathématique et expérimental. La méthode de rétropropagation du gradient (backpropagation), peut être interprétée ici comme la solution numérique d'un système différentiel défini par le champs de gradient d'une fonction analytique réelle. Nous discutons des avantages et inconvénients de cette approche. Ensuite, grâce à l'extension de l'espace des configurations, nous serons amener à étudier un système différentiel nouveau, admettant des intégrales premières simples et une déformation dissipative qui possède un attracteur global. La discrétisation de ce nouveau système sur des exemples, montrent que nous parvenons à une méthode plus efficace pour l'apprentissage de certain types de réseaux, par rapport à la méthode de rétropropagation conventionnelle. A. Tsygvintsev, ``On the overfly algorithm in deep learning of neural networks'', Applied Mathematics and Computation 349 (2019) 348–358
Jeudi 04 avril 2019 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
J'expliquerai comment, suivant une idée remontant au moins à Bombieri et Pila, on peut trouver une courbe algébrique plane A qui contient tous les points rationnels (de hauteur bornée) d'une courbe plane transcendante X donnée. Si le temps le permet j'expliquerai comment on peut ensuite trouver des conditions sur f, quand X est le graphe de f, pour que l'intersection de A et de X soit un nombre de points polynomialement borné en le degré de A. --
Jeudi 28 mars 2019 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Je vais présenter une borne pour le nombre de F_q[t]-points de degrés bornés dans une variété définie sur Z[t], uniforme en q. Cela généralise un résultat de Sedunova pour q fixé. La preuve repose sur des paramétrisations uniformes non-archimédiennes à la Yomdin-Gromov . Celles-ci généralisent les paramétrisations de Cluckers-Comte-Loeser. C’est un travail en commun avec Raf Cluckers et François Loeser.
Jeudi 21 mars 2019 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Travail en collaboration avec Marta Agustín Vicente. L'objet de cet exposé est l'étude des nombres de Betti de la cohomologie d'intersection (rationnelle) des variétés algébriques complexes compactes dotées d'une action d'un tore algébrique dont les orbites générales sont de codimension un. De telles variétés admettent une description géométrique et combinatoire en termes d'éventails divisoriels (notion généralisant le passage d'un éventail de cones rationnels à une variété torique). Cette description encode la donnée d'un morphisme birationnel propre (le morphisme de contraction) dont le but est notre variété initiale et la source est une fibration torique au dessus d'une courbe algébrique lisse. En utilisant des travaux récents de de Cataldo, Migliorini et Mustata, et en étudiant le théorème de décomposition pour l'application de contraction, nous expliquerons comment on peut décrire les nombres de Betti de façon récursive en fonction de l'eventail divisoriel associé.
Jeudi 14 mars 2019 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Les E-fonctions sont des séries entières à coefficients de Taylor algébriques à l'origine (vérifiant certaines conditions de croissance) et solutions d'équations différentielles linéaires à coefficients polynomiaux. Siegel les a introduites en 1929 dans le but de généraliser les propriétés diophantiennes de la fonction exponentielle, qui prend une valeur transcendante en n'importe quel point algébrique non-nul. La situation est plus compliquée en général car une E-fonction peut parfois prendre une valeur algébrique quand elle est évaluée en un point algébrique non-nul. Dans cet exposé, je commencerai par présenter plusieurs résultats diophantiens classiques sur les E-fonctions (Siegel-Shidlovskii, André, Beukers). Puis je présenterai un algorithme qui, étant donnée une E-fonction f(z) en entrée, produit la liste finie des nombres algébriques A tels que f(A) soit également algébrique. C'est un travail en commun avec Boris Adamczewski (CNRS et Université Lyon 1).
Jeudi 07 mars 2019 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
La dimension de l'espace des morphismes d'une courbe vers une variété rationnellement connexe augmente avec le degré. Dans certains cas, si on fait tendre ce degré vers l'infini certains invariants se stabilisent. Il est donc naturel de vouloir étudier de manière asymptotique cet espace de morphismes. On voit alors apparaître des principes d'équidistributions. Néanmoins, ces principes sont battus en brèche lorsque le morphisme est factorisable au travers de certains morphismes de variétés. Des invariants introduits par Manin dans un contexte arithmétique permettent de mieux comprendre ce phénomène.
Jeudi 21 février 2019 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous nous plaçons dans le contexte de la résolution à la Puiseux d’équations polynomiales en plusieurs variables. Notre objectif est de comprendre ce qui distingue une série de Puiseux multivariée algébrique (sur $K(x_1,....,x_r)$ le corps des fonctions rationnelles à r variables) d’une série de Puiseux formelle. Plus précisément, nous résolvons les problèmes suivants : - étant donnée une équation polynomiale $P(x_1,....,x_r,y)=0$, donner une formule pour les coefficients d’une série de Puiseux $y(x_1,....,x_r)$ solution en fonction des coefficients de l’équation ; - étant donnée une série de Puiseux algébrique, reconstruire à partir de ses coefficients un polynôme annulateur. Il s’agit d’une généralisation à plusieurs variables de notre travail sur les mêmes questions pour le cas monovarié. Travail en commun avec M. Hickel (Bordeaux).
Jeudi 13 décembre 2018 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
L’inégalité de Smith-Thom borne la somme des nombres de Betti de la partie réelle d’une variété algébrique réelle par la somme des nombres de Betti de sa partie complexe. Dans cet exposé, nous expliquerons une preuve d’une conjecture d’Itenberg qui raffine cette borne pour une classe particulière d’hypersurfaces réelles projectives en termes de ses nombres de Hodge. Les hypersurfaces considérées proviennent de la construction du patchwork de Viro, qui est une méthode combinatoire puissante de construction d’hypersurfaces algébrique réelles. Pour démontrer la conjecture d’Itenberg, nous développons un analogue réel de l’homologie tropicale et, à l’aide d’une suite spectrale, nous la comparons à l’homologie tropicale définie par Itenberg, Katzarkov, Mikhalkin et Zharkov. L’homologie tropicale redonne les nombres de Hodge d’une variété projective complexe, et sa version réelle détermine les nombres de Betti de sa partie réelle. Comprendre plus en détail la suite spectrale apparaissant dans la preuve est une des clefs pour contrôler la topologie de l’hypersurface réelle provenant d’un patchwork.
Mardi 13 novembre 2018 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans cet exposé nous nous intéressons au processus de rafle définie par un opérateur multivoque définissable dans une structure o-minimale. Nous établissons une inégalité de type KL adaptée au problème et nous l'utilisons pour montrer que les trajectoires bornées sont de longueur finie. Cette méthode permet d'obtenir le cas classique de la dynamique du gradient comme cas particulier, en onsidérant le processus de rafle correspondant aux sous-niveaux d'une fonction de classe C^1 o-minimale. Travail en collaboration avec D. Drusvyatskiy (Seattle).
Jeudi 08 novembre 2018 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Je parlerai des avancées récentes obtenues an collaboration avec Jérôme Poineau concernant la finitude dimensionnelle de la cohomologie de de Rham d'une équation différentielle sur une courbe p-adique. Cela est un problème profond et à la base de la théorie qui est resté ouvert pendant 50 ans.
Mardi 06 novembre 2018 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Cette thèse porte sur des propriétés arithmétiques des fonctions méromorphes et transcendantes d'une variable. Nous définissons des mesures de transcendance pour les fonctions holomorphes ou méromorphes sur un domaine régulier du plan puis nous majorons ces mesures en fonction de la distribution des petites valeurs de la fonction étudiée. Grâce aux théories de Nevanlinna et d'Ahlfors, nous étudions la distribution des petites valeurs de certaines classes de fonctions méromorphes sur le disque ou le plan afin d'obtenir pour celles-ci des majorations explicites de leurs mesures de transcendance. L'application principale de ce travail est l'obtention de nouveaux lemmes de zéros polynomiaux pour de grandes familles de fonctions méromorphes et en particulier pour les fonctions elliptiques et les fonctions fuchsiennes. Ces lemmes de zéros polynomiaux conduisent à des bornes logarithmiques du nombre de points algébriques de degré et hauteur bornés contenus dans les graphes des fonctions étudiées.
Jeudi 11 octobre 2018 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
J'expliquerai comment borner supérieurement la topologie d'un sous-complexe aléatoire dans un complexe simplicial, comment un empilement de simplexes disjoints permet d'améliorer ces bornes et comment un pavage permet d'obtenir de bons empilements. Il s'agit d'un travail en commun avec Nermin Salepci.
Jeudi 27 septembre 2018 à 14h, Amphi Lauzière
Résumé : (Masquer les résumés)
Durant ce séminaire nous présenterons le cadre général pour étudier des opérateurs agissant sur des systèmes périodiques discrets. Il s’agit des cristaux topologiques que nous perturberons ensuite de diverses manières. Les opérateurs de Schrödinger agissant sur ces structures seront alors étudiés du point de vue de la théorie spectrale et de la diffusion. A cette occasion, nous mettrons également en évidence des outils issus de l'analyse fonctionnelle qui sont certainement peu utilisés en géométrie (théorie de Mourre, construction d'un opérateur conjugué).
Jeudi 28 juin 2018 à 14h, Pôle Montagne, salle 52
Résumé : (Masquer les résumés)
Que peut-on dire de deux variétés algébriques ayant la même classe dans l'anneau de Grothendieck des variétés? Un espoir (déçu) était de montrer qu'elles étaient isomorphes par morceaux. On montrera que c'est le cas dans le cadre des ensembles symétriques par arcs en géométrie algébrique réelle.
Jeudi 14 juin 2018 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Generalized amoebas are images of algebraic varieties under multiplicative group homomorphisms. They connect toric geometry with real and tropical geometry. We will discuss the general framework, as well as applications to fewnomial systems.
Jeudi 07 juin 2018 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Seade, Tibar et Verjovsky (Math. Annalen, 2005) ont défini l'obstruction d'Euler globale d'un ensemble algébrique affine complexe et ils ont donné une formule de multiplicité polaire pour cette obstruction. Dans cet exposé, on définit plusieurs généralisations de l'obstruction d'Euler globale et on donne plusieurs généralisations de la formule de multiplicité polaire. C'est un travail avec Nivaldo Grulha.
Jeudi 24 mai 2018 à 16h
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Jeudi 17 mai 2018 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
A lattice polytope is the convex hull in R^d of finitely many integer points. A lattice d-simplex is a lattice d-polytope whose vertices are affinely independent, and it is ``empty'' if its vertices are its only lattice points. Lattice polytopes have been widely studied for their relations to algebraic geometry and integer optimization, among other fields. For example, empty lattice simplices correspond to the so called terminal quotient singularities in the minimal model program of Mori for the birational classification of algebraic varieties. Their classification in dimension three (White, 1964) is sometimes dubbed the terminal lemma, and quite some effort has been devoted towards the classification of 4-dimensional ones. In particular, Mori, Morrison and Morrison (1988) conjectured a classification of the empty 4-dimensional simplices of prime volume into (I) a three-parameter family, (II) one two-parameter family, (III) 29 one-parameter families, and (IV) a finite list of exceptions of volumes up to 419. This classification was later proved by Bober (2009). For the non-prime case, Barile et al. (2011) claimed that the classification of Mori et al. extended without change (except for an increase in the number of exceptional simplices) but this statement was found to be false in Blanco et al. (2017+), where additional infinite families were found. In this talk we report on the complete classification of empty 4-simplices which includes, besides the families of Mori et al., a second two-parameter family and 23 additional one-parameter families. Our techniques combine methods from convex geometry (covering minima) with looking at the minimum dimension into which each empty-simplex projects without interior lattice points. This talk is based on joint work with Óscar Iglesias-Valiño (Universidad de Cantabria).
Jeudi 26 avril 2018 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
À venir
Jeudi 22 mars 2018 à 16h, Amphithéatre Nivolet
Résumé : (Masquer les résumés)
It is known that every germ of an analytic set is homeomorphic to the germ of an algebraic set. We show that the homeomorphism can be chosen in such a way that the analytic and algebraic germs are tangent with any prescribed order of tangency. Moreover, the space of arcs contained in the algebraic germ approximates the space of arcs contained in the analytic one, in the sense that they are identical up to a prescribed truncation order. Joint work with K. Kurdyka, A. Parusinski and G. Rond.
Jeudi 15 mars 2018 à 16h, Classification arc-analytique des polynômes de Brieskorn--Pham.
Résumé : (Masquer les résumés)
L'équivalence arc-analytique est une relation d'équivalence sur les germes de fonctions Nash (i.e. analytiques réelles+semialgébriques) qui n'admet pas de module continu et qui peut être vue comme une version semialgébrique de l'équivalence blow-analytique de T.-C. Kuo. Dans cet exposé, je donnerai la classification complète des polynômes de Brieskorn--Pham pour l'équivalence arc-analytique. Cette dernière généralise les classifications obtenues par S. Koike et A. Parusiński dans le cas de deux variables et par G. Fichou dans le cas de trois variables. Ce résultat permet de mettre en exergue quelques différences avec d'autres classifications naturelles comme l'équivalence bi-Lipschitz. La preuve repose sur une version réelle des fonctions zêta motiviques de J. Denef et F. Loeser et sur des calculs explicites de polynômes de Poincaré virtuels (un analogue réel au polynôme de Hodge--Deligne, introduit par C. McCrory et A. Parusiński).
Jeudi 15 février 2018 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Il est connu depuis longtemps qu'une courbe tropicale dans R^2 de degré d est de genre au plus (d-1)(d-2)/2. J'expliquerai dans cet exposé comment construire une courbe tropicale plane de degré d et de genre quelconque. J'expliquerai en particulier comment résoudre la contradiction apparente de ces deux dernières phrases. Plus généralement, je donnerai des bornes sur les nombres de Betti des variétés tropicales de R^n, et si le temps le permet sur leurs nombres de Hodge tropicaux. Généralisant le cas des courbes, je montrerai qu'il n'existe pas de borne supérieure finie sur le nombre total de Betti d'une variété tropicale projective de degré d et de dimension m. Ceci est un travail en commun avec B. Bertrand et L Lopez de Medrano
Jeudi 01 février 2018 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Groupe de travail : << Fonctions Zêta, Théorie des Nombres, Géométrie >> Dyer’s outer automorphism of PGL(2,Z) induces an involution of the real line, which behaves very much like a kind of modular function. It has some striking properties: it preserves the set of quadratic irrationals sending them to each other in a non-trivial way and commutes with the Galois action on this set. It restricts to an highly non- trivial involution of the set unit of norm +1 of quadratic number fields. It conjugates the Gauss continued fraction map to the so-called Fibonacci map. It preserves harmonic pairs of numbers inducing a duality of Beatty partitions of the set of natural numbers. It induces a subtle symmetry of Lebesgue’s measure on the unit interval. On the other hand, it has jump discontinuities at rationals though its derivative exists almost everywhere and vanishes almost everywhere. In the talk, I plan to show how this involution acts on the quadratic irrationals.
Jeudi 25 janvier 2018 à 16h
Résumé : (Masquer les résumés)
Je vais présenter quelques nouvelles techniques pour résoudre les équations G(x,y)=0 où G(x,y)=G(x_1,...,x_n,y) est une fonction dans une classe quasi-analytique (par exemple, une classe Denjoy-Carleman quasi-analytique). Plusieurs questions importantes sur les fonctions quasi-analytiques, concernant la division, la factorisation, le lemme de préparation de Weierstrass, etc., entrent dans le cadre de ce problème. Aucune connaissance préliminaire sur les fonctions quasi-analytiques ne sera nécessaire. Je donnerai un bref panorama sur les fonctions quasi-analytiques, en mettant l’accent sur les différences avec les fonctions analytiques. Ensuite, je présenterai une technique de prolongement quasi-analytique (basée sur la résolution des singularités) et le résultat suivant (à partir d’un travail conjoint avec E. Bierstone et I. Biborski) : si G(x,y)=0 a une solution formelle y=H(x), alors H(x) est le développement de Taylor d’une solution quasi-analytique y=h(x), où h(x) a une certaine perte de régularité contrôlée par G.
Jeudi 18 janvier 2018 à 16h
Résumé : (Masquer les résumés)
En utilisant le travail de Guillén et Navarro Aznar sur les hyperrésolutions cubiques, Totaro a introduit un analogue de la filtration par le poids de Deligne sur l'homologie et la cohomologie des variétés algébriques réelles, fonctorielle, triviale sur les variétés lisses compactes, additive et compatible avec les résolutions des singularités. McCrory et Parusinski ont montré que la filtration par le poids réelle homologique et ses propriétés étaient induites par un complexe de chaînes filtré géométrique, appelé filtration géométrique. Un article avec Limoges montre également que le dual de ce dernier induit la filtration par le poids réelle cohomologique, et que ces filtrations géométriques induisent la compatibilité des filtrations par le poids réelles avec les produits usuels (cartésiens, cup, cap). Si l'on considère maintenant des variétés algébriques réelles munies de l'action d'un groupe fini, la fonctorialité des filtrations géométriques permet d'induire une filtration par le poids sur des homologie et cohomologie équivariantes, définies par van Hamel pour vérifier une dualité de Poincaré sur les variétés topologiques avec action. Des différences significatives apparaissent cependant entre les filtrations par le poids réelles équivariantes et non-équivariantes. Dans cet exposé, on verra comment la fonctorialité des complexes filtrés géométriques induit néanmoins la compatibilité des filtrations par le poids équivariantes réelles avec les produits cartésiens, cup et cap équivariants, ainsi qu'avec le morphisme de dualité de Poincaré équivariant.
Jeudi 11 janvier 2018 à 16h
Résumé : (Masquer les résumés)
Motivated by mirror symmetry, we study the counting of open curves in log Calabi-Yau surfaces. Although we start with a complex surface, the counting is achieved by applying methods from Berkovich geometry (non-archimedean analytic geometry). This gives rise to new geometric invariants inaccessible by classical methods. These invariants satisfy a list of very nice properties and can be computed explicitly. I will mention the conjectural wall-crossing formula, relations with the works of Gross-Hacking-Keel and applications towards mirror symmetry.
Jeudi 14 décembre 2017 à 17h
Résumé : (Masquer les résumés)
Groupe de travail : Fonctions Zêta, Théorie des Nombres, Géométrie
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Jeudi 30 novembre 2017 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Afin d'étudier les propriétés arithmétiques d'une fonction entière, Coman et Poletsky ont introduit une notion de mesure de transcendance. Cette mesure joue un rôle similaire aux mesures de transcendances en approximation diophantienne. Par la suite ils ont obtenu une majoration de cette mesure de transcendance sous des conditions de distribution des petites valeurs de la fonction entière étudiée. J'expliquerai comment cette mesure de transcendance peut être étendue aux fonctions méromorphes sur le disque unité ou le plan. De façon analogue à la situation entière, il sera possible de majorer cette mesure sous des conditions de distribution des petites valeurs de la fonction méromorphe et des pôles de celle-ci. J'appliquerai ce résultat au cas des fonctions elliptiques et fuchsiennes. Enfin j'expliquerai le lien entre les lemmes de zéros et les mesures de transcendances de cet exposé.
Jeudi 23 novembre 2017 à 14h30
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Jeudi 19 octobre 2017 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Soit k un corps de caractéristique nulle et K=k((t)). Les ensembles semi-algébriques sur K sont des combinaisons booléennes d’ensembles algébriques et d’ensembles définis par des inégalités valuatives. Leur anneau de Grothendieck a été étudié par Hruskovski et Kazhdan qui le relient via l’intégration motivique au groupe de Grothendieck des variétés sur k. Je présenterai un morphisme de cet anneau vers le groupe de Grothendieck des motifs des variétés rigides analytiques sur K au sens d’Ayoub. Cela permet de raffiner la comparaison par Ayoub, Ivorra et Sebag entre fibre de Milnor motivique et foncteur cycle proche motivique d’Ayoub.
Jeudi 12 octobre 2017 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Considérons un lacet tracé dans l'ensemble des points réels d'une variété algébrique réelle. Peut-on l'approcher par le lieu réel d'une courbe algébrique incluse dans la variété ? Il s'agit d'une question classique en géométrie réelle. Dans cet exposé, nous expliquerons ce qui est connu, et présenterons de nouveaux résultats positifs et négatifs, obtenus en collaboration avec Olivier Wittenberg.
Jeudi 22 juin 2017 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
J'expliquerai ce qu'est un diviseur libre puis je donnerai une méthode de construction de tels diviseurs. Les arrangements de droites sont des diviseurs particulièrement étudiés du plan projectif. Nous donnerons quelques arguments prouvant la liberté de certains d'entre eux, puis nous établirons un lien avec les projections de variétés de Veronese dont les espaces tangents d'ordre supérieur n'ont pas la dimension attendue.
Jeudi 08 juin 2017 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Les nombres de Hurwitz comptent le nombre de revêtements ramifiés, de degré d et de genre g, de la droite projective complexe avec des profils de ramification fixés aux points de branchements respectifs. On considère le problème de comptage des revêtements de genre nul, munis d'une structure réelle à partir de la conjugaison complexe, tels que tous les points de branchements soient réels. En imposant à un des points de branchement un profil de ramification particulier, on associe alors un signe à chaque revêtement à partir de la position des points de ramification. De manière analogue aux travaux d'Itenberg et Zvonkine sur les nombres de Hurwitz réels polynomiaux, on démontre que le nombre total de revêtements, comptés avec signe, ne dépend pas de l'ordre des points de branchement dans la droite réelle.
Jeudi 18 mai 2017 à 14h
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Jeudi 11 mai 2017 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous discuterons des notions différentes du concept de linéarisation des systèmes non linéaires de contrôle : à l’aide de difféomorphismes dans l’espace d’état, par bouclage, par bouclage orbital et par precompensation dynamique. Pour les trois premières notions nous rappellerons des conditions géométriques nécessaires et suffisantes pour la linéarisation et donnerons des méthodes de construire les transformations linéarisantes. Ensuite, on se concentrera sur les systèmes linéarisables par bouclage dynamique, dits systèmes plats. Nous présenterons des plusieurs définitions équivalentes (en particulier, des relations avec la notion de l’équivalence absolue de Cartan) et discuterons des difficultés principales qui empêchent l’obtention des conditions nécessaire et suffisantes. Nous présenterons des solutions complètes dans des cas particuliers (distributions de contact ou les systèmes de poids différentiel minimal).
Mercredi 12 avril 2017 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Soient f1,...,fp des polynômes quadratiques en n variables lacunaires (fewnomials) à coefficients dans un corps K, tels que le système f1 = ... = fp = 0 n'admette pas de solution sur la clôture algébrique de K. On s'intéresse dans cet exposé à une version effective du Nullstellensatz : sous quels conditions sur le support monomial de f1,...,fp existe-t-il probablement des polynômes g1,...,gp ``petits'' tels que f1*g1 + ... + fp*gp = 1 ? Nous montrerons que lorsque le nombre de carrés dans le support monomial excède n^(1/2+epsilon), que le support est tiré aléatoirement parmi ceux de cardinalité n+k+1 (pour une constante k fixée) et sous des hypothèses de généricité sur les coefficients, il existe des certificats (g1,...,gp) avec le même support monomial que (f1,...,fp) avec probabilité proche de 1, et que ceux-ci peuvent être calculés efficacement. Ce résultat et sa preuve sont fortement reliés à des propriétés combinatoires de graphes aléatoires dans le modèle d'Erdös-Renyi. Nous illustrerons ce résultat par des observations expérimentales et discuterons de ses liens avec le problème de la résolution de systèmes quadratiques lacunaires. Travail commun avec Jean-Charles Faugère et Jules Svartz
Jeudi 06 avril 2017 à 15h
Résumé : (Masquer les résumés)
The monodromy groups of hypergeometric differential equations of type nFn-1 are often called hypergeometric groups. These are subgroups of GL_n . Recently, Arithmeticity and Thinness of these groups have caught a lot of attention. In the talk, a gentle introduction and recent progress to the theory of hypergeometric groups will be presented. In the same spirit, theory of Salem groups will also be introduced.
Jeudi 30 mars 2017 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
The blowing up of a monomial ideal in the affine space is non necessarily normal. It is covered by affine charts determined by certain semigroup algebras. We explain how one can generalize this example to define toric varieties without the normality assumption. Gonzalez-Sprinberg proved that the Semple-Nash modification on a toric variety is described by the blowing up of certain monomial ideal. We study some properties of this modification in terms of monomial valuations. This is a joint work with B. Teissier.
Jeudi 23 mars 2017 à 15h
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Jeudi 16 février 2017 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Une structure réelle sur une variété projective complexe X est une involution antiholomorphe sur cette variété. La donnée d'une telle structure équivaut à la donnée d'une variété réelle dont la complexification est isomorphe à X (i.e. une forme réelle de X). Le but de cet exposé est de montrer comment l'étude des groupes d'automorphismes des surfaces rationnelles peut être utilisée en vue de donner des éléments de réponse à la question de la finitude du nombre de classes d'équivalence de structures réelles sur ces éclatés, i.e. la finitude du nombre de leurs formes réelles à isomorphisme près. En particulier, nous montrerons qu'une surface rationnelle dont le groupe d'automorphismes ne contient pas un groupe libre non-abélien admet un nombre fini de formes réelles puis nous donnerons au moins un exemple de surface rationnelle ayant à la fois un nombre fini de formes réelles à isomorphisme près et un ``grand'' groupe d'automorphismes.
Jeudi 09 février 2017 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Si on se donne un système générique de n équations polynomiales en n variables de degrés d_1,...,d_n, alors le théorème de Bézout implique que ce système a exactement le produit des degrés nombre de solutions dans le tore complexe (C^*)^n. Maintenant si l'on prend des combinaisons linéaires génériques des équations, on obtient un système équivalent où toutes les équations ont le même degré d (le maximum des degrés), et le théorème de Bézout donne alors la quantité d^n qui surestime le nombre de solutions du système si au moins un d_i est plus petit que d. En général, une borne sur le nombre de solutions isolées dans le tore complexe d'un système polynomial est donnée par le volume mixte de polytopes de Newton du système. Ce volume mixte est une fonction croissante de ses arguments. Lors de cet exposé, on donnera plusieurs caractérisations de cette croissance stricte. C'est un travail en commun avec Ivan Soprunov (Université de Cleveland).
Jeudi 02 février 2017 à 15h
Résumé : (Masquer les résumés)
Les séries de Dirichlet fonctions zêta à une ou plusieurs variables sont des objets importants qui apparaissent naturellement dans plusieurs domaines des mathématiques : la théorie des nombres, la géométrie algébrique, la théorie des groupes, la physique mathématique, les systèmes dynamiques, la géométrie fractale, etc. L’étude de ces fonctions est transversale à la subdivision traditionnelle en disciplines mathématiques : algèbre, analyse, topologie, géométrie, combinatoire qui sont toutes nécessaires pour les étudier. Dans cet exposé, nous présenterons un aperçu général de ce sujet et des méthodes utilisées pour étudier plusieurs classes de séries de Dirichlet et fonctions zêtas à plusieurs variables. Nous donnerons en particulier plusieurs résultats les concernant (prolongement méromorphe, localisation des singularités, valeurs spéciales, etc.) Nous donnerons aussi quelques applications (en théorie des nombres, en géométrie arithmétique, en géométrie fractale, etc.) pour justifier l’étude de ces différentes classes.
Jeudi 26 janvier 2017 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
On considère une famille méromorphe d'endomorphismes d'un espace projectif complexe paramétrée par le disque. Cette donnée nous fournit une famille de mesures de probabilité paramétrée par le disque épointé. Nous montrerons comment on peut analyser la convergence de cette suite au dessus de la fibre centrale en utilisant des techniques non-archimédiennes, et en déduire un contrôle de l'explosion de l'exposant de Lyapunov à l'origine.
Jeudi 19 janvier 2017 à 15h
Résumé : (Masquer les résumés)
On s'intéressera à un modèle naturel de sous-variété algébrique aléatoire de RP^n, obtenue comme lieu d'annulation d'un polynôme P_d aléatoire de degré d. Je présenterai deux résultats qui donnent les asymptotiques de l'espérance et de la variance du volume de cette sous-variété, lorsque d tend vers l'infini. Nous montrerons également que (P_d)^{-1}(0) s'équidistribue dans RP^n asymptotiquement, en un sens à préciser. Plus généralement, ces résultats sont valables pour des sous-variétés aléatoires d'une variété projective réelle. Les asymptotiques ne dépendent alors de la variété ambiante que par sa dimension et son volume.
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Jeudi 05 janvier 2017 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans cet exposé, nous introduisons une description combinatoire pour décrire et classifier les G-variétés normales avec orbites sphériques, où G est un groupe algébrique linéaire connexe réductif. Un des exemples fondamentaux est le cas où G = T est un tore algébrique (c'est à dire, T est le produit d'un nombre fini d'exemplaires du groupe multiplicatif du corps de base). Dans ce cas, l'approche d'Altmann-Hausen-Suess décrit une T-variété normale X via une modification T-équivariante f de X' vers X, où X' est une fibration torique au dessus d'une variété lisse Y. Leur approche obtenue en 2008 est de considérer un diviseur sur Y dont les coefficients sont des subdivisions polyédrales encodant l'information sur la modification f et la géométrie des fibres de la fibration de X' vers Y. En particulier, lorsque Y est un point, nous retrouvons la description classique des variétés toriques en termes d'éventails de cônes polyédraux saillants. Nous expliquerons comment généraliser cette description dans le cadre plus général des actions de groupes réductifs avec orbites sphériques et discuterons sur les applications possibles en théorie des singularités. L'exposé se veut introductif et ne demande pas de prérequis particulier.
Jeudi 08 décembre 2016 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans cet exposé, nous commencerons par définir les invariants motiviques à l'infini d'un polynôme. Nous étudierons ensuite le cas d'un polynôme à deux variables et à coefficients complexes. Les calculs seront donnés en termes des polygones de Newton du polynôme. Lorsque le polynôme est non dégénéré pour son polygone de Newton, le calcul est aisé, dans le cas contraire,nous proposons un raisonnement par induction utilisant des transformations de Newton et des polygones itérés à hauteur décroissante. Travail en commun avec Pierrette Cassou-Nogues (Bordeaux)
Jeudi 17 novembre 2016 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous montrons la stabilité sous intégration et transformation de Fourier d’une algèbre explicite de fonctions contenant les fonctions sous-analytiques et leurs exponentielles complexes. Il s'agit d'un article en commun avec R. Cluckers, D. Miller, J. P. Rolin & T. Servi.
Jeudi 13 octobre 2016 à 15h
Résumé : (Masquer les résumés)
En tant que nouvel arrivant au laboratoire, je voudrais présenter lors de cet exposé des questions, des sujets de recherche qui m'intéressent. La question du temps nécessaire algorithmiquement pour l'évaluation de polynômes naturels semble fondamentale. Quelle est la meilleure façon de calculer un polynôme f(X_1,…,X_n) à partir des opérations arithmétiques basiques + et *? En fait, certains polynômes sont difficiles à calculer. Par exemple, évaluer le permanent d'une matrice revient à compter le nombre de mariages parfaits dans un graphe. Une autre façon de voir ce problème est celui de la possibilité d'exprimer le permanent comme déterminant d'une matrice, une question déjà soulevée par Pólya et Szegö en 1913. On commencera par une présentation de pistes de recherche actuelles en complexité arithmétique. On verra des relations avec des questions de géométrie algébrique (en particulier, en géométrie réelle) et les questions qui apparaissent - ou plutôt ressurgissent - dans ce domaine. Ainsi, de nombreuses propriétés des variétés réelles définies par des courbes creuses sont encore très mal connues. Je finirai par présenter mes derniers résultats : en particulier, je montrerai comment obtenir des bornes inférieures ``presque''-cubiques (et ainsi battre les bornes précédentes quadratiques) sur la taille des circuits arithmétiques de profondeur 3 calculant un polynôme donné.
Jeudi 22 septembre 2016 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
We study isolated singularities of a space embedded in a smooth Riemannian manifold from a differential geometric point of view. While there is a considerable literature on bi-lipschitz invariants of singularities, we obtain a more precise (complete asymptotic) understanding of the metric properties of certain types of singularities. This involves the study of the family of geodesics emanating from the singular point. While for conical singularities this family of geodesics, and the exponential map defined by them, behaves much like in the smooth case, the situation is very different in the case of cuspidal singularities, where the exponential map may fail to be locally injective. We also study a mixed conical-cuspidal case. Our methods involve the description of the geodesic flow as a Hamiltonian system and its resolution by blow-ups in phase space. This is joint work with Vincent Grandjean.
Jeudi 23 juin 2016 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans cet exposé, on donne quelques versions des inégalités de Lojasiewicz (du gradient et pour la fonction de distance) quand les fonctions considérées sont la fonction de la valeur propre maximale d'une matrice polynomiale symétrique et la fonction de la valeur singulière minimale d'une matrice polynomiale quelconque.
Mardi 07 juin 2016 à 11h
Résumé : (Masquer les résumés)
Je vais présenter un problème d'estimée locale en zéro dans des quotients d'anneaux de séries algébriques. La question consiste à relier l'ordre d'annulation d'un polynôme modulo un idéal au degré de ce polynôme. Nous considérerons aussi le cas de l'ordre d'une série algébrique. Finalement nous montrerons comment ces estimées locales permettent de ``contrôler'' la transcendance des solutions d'équations linéaires à coefficients séries algébriques, solutions pour lesquelles des contraintes de support sont imposées. Ce type d'équations apparaît naturellement en combinatoire ou en théorie des singularités.
Jeudi 26 mai 2016 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
La conjecture de Yano (1982) prédit les racines du polynôme de Bernstein générique d'un germe de courbe plane irréductible. Je vais expliquer les idées de la preuve dans le cas de deux paires de Puiseux et monodromie à valeurs propres distinctes. C'est un travail commun avec Enrique Artal Bartolo, Ignacio Luengo et Alejandro Melle-Hernandez (2016).
Jeudi 12 mai 2016 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
On montre que toute famille de singularités analytiques, réelles ou complexes, équisingulière au sens de Zariski, peut être trivialisée par un homeomorphisme semi-algébrique, arc-analytique, et analytique par rapport au paramètre. Cela montre en particulier la conjecture de fibration de Whitney : l’existence, pour toute variété analytique complexe, d’une stratification qui possède localement un feuilletage (w)-régulier. Une telle stratification peut être construite de manière algorithmique. (travail en collaboration avec Laurentiu Paunescu)
Mercredi 04 mai 2016 à 17h
Résumé : (Masquer les résumés)
We prove that if a linear equation, whose coefficients are continuous rational functions on a nonsingular real algebraic surface, has a continuous solution, then it also has a continuous rational solution. This is known to fail in higher dimensions. (Joint work with K. Kurdyka)
Jeudi 14 avril 2016 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
J'expliquerai comment, dans un travail commun avec C. Miller, nous montrons que le nombre de points rationnels de hauteur au plus T, dans certaines courbes transcendantes, est borné par a.log^bT où a et b sont réels. Les courbes que nous considérons ne sont pas nécessairement o-minimales ni compactes.
Jeudi 07 avril 2016 à 15h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Soit V une variété algébrique affine complexe. Le calcul exact des points critiques d'une fonction polynomiale f définie sur V est une routine centrale dans plusieurs algorithmes en géométrie algébrique réelle et en optimisation. En supposant que la cloture projective de V est lisse et sous des hypothèses de généricité sur f, nous montrons des bornes sur le degré du lieu formé par les points de V où le gradient de f appartient à la somme de l'espace normal à V et d'un espace linéaire générique. Ces bornes dépendent du degré de f et des degrés des classes polaires de la cloture projective de V. À l'aide de ces bornes et en utilisant un algorithme récent de Bank, Giusti, Heintz, Matera, Lecerf et Solerno, nous montrons qu'une paramétrisation rationnelle des points critiques de f sur V peut être calculée avec une complexité arithmétique essentiellement quadratique (à des facteurs logarithmiques près) en le nombre de points critiques complexes et polynomiale en les autres paramètres du problème. Travail commun avec Mohab Safey El Din.
Jeudi 07 avril 2016 à 14h
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Jeudi 31 mars 2016 à 16h
Jeudi 24 mars 2016 à 16h
Jeudi 10 mars 2016 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Etant donnée une surface singulière (X,0) , John Nash a proposé l'étude de l'espace des arcs passant par la singularité; cet espace est de dimension infinie mais admet un nombre fini de composantes irréductibles. J. de Bobadilla et M.Pe Pereira ont démontré qu'il y avait autant de composantes irréductibles que de diviseurs irréductibles exceptionnels de la résolution (abstraite) minimale. Avec H.Mourtada, nous nous posons la question ``inverse'': peut-on caractériser /obtenir une résolution de la singularité via l'espace des arcs.Trouver une résolution abstraite via l'espace des arcs est finalement trop ambitieux. Par contre nous obtenons une résolution plongée torique des singularités simples via les espaces de jets (en utilisant un th de Ein-Lazarsfeld-Mustata qui relient les valuations divisorielles avec des composantes irréductibles des espaces des arcs.)
Jeudi 18 février 2016 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
J'introduirai une version non archimédienne du link d'une singularité. Celle-ci sera un proche parent d'un espace analytique non-archimedien (à la Berkovich) sur un corps trivialement valué. Après avoir décrit la géométrie et la structure analytique de ce link, j'en déduirai des informations sur les résolutions des singularités des surfaces.
Mercredi 17 février 2016 à 17h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Deux germes de fonctions analytiques réelles blow-analytiquement équivalentes sont sous-analytiquement bi-Lipschitz équivalentes de contact.
Jeudi 04 février 2016 à 15h30
Résumé : (Masquer les résumés)
In this talk, I present recent results of my thesis including the existence of Lipschitz stratifications of definable sets in polynomially bounded o-minimal structures and some properties related to Whitney stratifications of definable set.
Jeudi 04 février 2016 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Après un bref rappel des problèmes généraux en topologie des variétés algébriques réelles et de la méthode de construction du patchwork, on présentera une construction de surfaces algébriques réelles avec beaucoup d'anses dans (CP^1)^3.
Jeudi 28 janvier 2016 à 15h
Résumé : (Masquer les résumés)
Les E et G-fonctions de Siegel sont des séries entières solutions d'équations différentielles linéaires, avec des coefficients de Taylor algébriques vérifiant certaines conditions de croissance. Les ensembles de valeurs prises par ces fonctions aux points algébriques possèdent une riche structure arithmétique héritée des équations différentielles sous-jacentes. Je presenterai quelques résultats sur ces ensembles obtenus dans des travaux en commun avec Stéphane Fischler (Orsay) et, indépendamment, Julien Roques (Grenoble).
Jeudi 21 janvier 2016 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Le schéma des arcs tracés sur une variété n'est pas un objet de dimension finie. Le théorème de Drinfeld-Grinberg-Kazdhan dit cependant que la singularité en un arc non contenu dans le lieu singulier de la variété possède en un sens un modèle de dimension finie. Ce modèle devrait contenir des informations sur la singularité de l'origine de l'arc considéré. Nous présenterons des résultats et questions dans ce sens pour les singularités de courbe. C'est un travail en commun avec Julien Sebag.
Jeudi 17 décembre 2015 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Un polynôme est hyperbolique si toutes ses racines sont réelles. Un système polynomial est dit hyperbolique positif si toutes ses solutions complexes sont réelles et appartiennent à l'orthant positif. Lors de cet exposé, nous allons décrire une construction combinatoire de tels systèmes qui s'applique à un grand nombre de familles connues de polytopes. (basé sur un travail en commun avec Pierre-Jean Spaenlehauer, CR Inria Nancy).
Jeudi 03 décembre 2015 à 15h30
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Jeudi 03 décembre 2015 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
On étudie les complexifications topologiquement minimales du plan affine euclidien R² à isomorphisme près et à difféomorphismes birationnels près. Un faux plans réel est une surface géométriquement intègre non singulière définie sur R telle que : • Le lieu réel S(R) est difféomorphe à R²; • La surface complexe S_C(C) a le type d’homologie rationnelle de A²_C(C).; • S n’est pas isomorphe à A²_R en tant que surface définie sur R. L’étude analogue dans le cas compact, c’est-à-dire la classification des complexifications du plan projectif réel P²(R) possédant l’homologie rationnelle du plan projectif complexe est bien connue : P²_C est l’unique telle complexification. Nous prouvons que les faux plans réels existent en donnant plusieurs exemples et nous abordons la question : existe-t-il un faux plan réel S tel que S(R) n’est pas birationnellement difféomorphe à A²_R(R) ? (Travail en commun avec Adrien Dubouloz.) Deux articles à ce sujet : http://arxiv.org/abs/1507.01574 (soumis) et ``Real frontiers of fake planes'', European Journal of Math, DOI 10.1007/s40879-015-0087-8 (2015).
Jeudi 19 novembre 2015 à 14h
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Jeudi 12 novembre 2015 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
We call a closed basic semialgebraic subset X of R^n homogeneous if it is defined by a finite system of strict inequalities with homogeneous polynomials. We prove an effective version of the Putinar and Vasilescu Positivstellensatz for positive homogeneous polynomials on homogeneous semialgebraic sets.
Jeudi 05 novembre 2015 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
L'espace des arcs centrés en un point donné d'une variété a une structure de cône, qui induit une structure d'algèbre graduée sur l'algèbre de l'espace des arcs. La série de Hilbert-Poincaré associée à cette algèbre est un invariant des singularités. Je vais introduire cet invariant, parler de son calcul pour certaines singularités et d'une relation entre cette série et une fameuse identité de la théorie des partitions, qui est due à Rogers et à Ramanujan. C'est un travail en commun avec Clemens Bruschek et Jan Schepers.
Jeudi 01 octobre 2015 à 14h
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Jeudi 17 septembre 2015 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
It is long known that any expansion, M, of the field of real numbers that defines N (the set of all natural numbers) also defines every real Borel set, hence also every real projective set (in the sense of descriptive set theory). Thus, one can easily ask questions about the definable sets of M that turn out to be independent of ZFC (e.g., whether every definable set is Lebesgue measurable). This leads naturally to wondering what can be said about its definable sets if M does not define N. Philipp Hieronymi (Urbana-Champaign) and I have recently obtained a result that can be stated loosely as: M avoids defining N if and only if all metric dimensions commonly encountered in geometric measure theory, fractal geometry and analysis on metric spaces coincide with topological dimension on all images of closed definable sets under definable continuous maps. I will make this statement precise (assuming essentially no knowledge of model theory or dimension theory), explain its significance, and give some easy (yet striking) corollaries and applications.
Jeudi 18 juin 2015 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
In joint work with Raf Cluckers, we propose a conjecture for exponential sums which generalizes both a conjecture by Igusa and a local variant by Denef and Sperber, in particular, it is without the homogeneity condition on the polynomial in the phase, and with new predicted uniform behavior. The exponential sums have summation sets consisting of integers modulo p^m lying p-adically close to y, and the proposed bounds are uniform in p, y, and m. We give evidence for the conjecture, by showing uniform bounds in p, y, and in some values for m. On the way, we prove new bounds for log-canonical thresholds which are closely related to the bounds predicted by the conjecture.
Jeudi 28 mai 2015 à 14h
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Jeudi 07 mai 2015 à 14h
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Jeudi 09 avril 2015 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Les courbes de Harnack simples ont été introduites et classifiées par Mikhalkin au début des années 2000. Ces courbes constituent des objets extrémaux en géométrie algébrique réelle, et se retrouvent de manière surprenante dans d'autres domaines des mathématiques. Après avoir donné leur définition, je donnerai une preuve alternative et élémentaire du théorème de classification des types topologiques des courbes de Harnack. Cette preuve permet en particulier d'étendre le résultat de Mikhalkin aux courbes pseudoholomorphes réelles.
Jeudi 26 mars 2015 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Au cours de cet exposé, nous nous intéresserons à quelques limites singulières issues de problèmes de la mécanique des fluides. Nous verrons qu'une approche couplant géométrie et analyse fonctionnelle est nécessaire lorsque l'on désire comprendre certains phénomènes physiques sous-jacents : amortissement, croisements de valeurs propres, transversalité, EDO singulières, analyse microlocale sont quelques exemples de concepts mathématiques que l'on est alors amené à rencontrer. Nous discuterons quelques exemples récemment étudiés et exhiberons quelques problèmes actuels.
Jeudi 19 mars 2015 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Abstract: In papers by Alon, Pach, Pinchasi, Radoicic, Sharir and Fox, Gromov, Lafforgue, Naor, Pach it is demonstrated that families of graphs with the edge relation given by a semialgebraic relation of bounded complexity satisfy much stronger regularity properties than arbitrary graphs, and can be decomposed into very homogeneous semialgebraic pieces modulo a small mistake (for example the incidence relation between points and lines on the real plane, or higher dimensional analogues). We show that in fact the theory can be developed for families of graphs whose edge relation is uniformly definable in a structure satisfying a certain model theoretic property called distality, with respect to a large class of measures. Moreover, distality characterizes these strong regularity properties. The result is similar in spirit to the recent algebraic regularity lemma of Tao, but covers an orthogonal class of examples (and applies in particular to graphs definable in arbitrary o-minimal theories and in p-adics). Joint work with Sergei Starchenko.
Vendredi 13 mars 2015 à 10h
Jeudi 22 janvier 2015 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous montrons une version presque complexe d'une question de Bogomolov concernant le plongement de variétés complexes compactes dans un espace projectif complexe. C'est un travail en commun avec Jean-Pierre Demailly.
Jeudi 08 janvier 2015 à 15h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Némethi and Veys proved a generalized monodromy conjecture using the technique of splicing. They considered a topological zeta function with respect to a differential form and included this information into the splice diagram. This splice diagram is essentially a decorated dual graph of an embedded resolution and splicing is operation on these splice diagrams. It splits such a graph into two parts and their topological zeta functions are related by a splicing formula. An interesting question is then what happens if we look at more general zeta functions such as the motivic zeta function and the monodromic motivic zeta functions. I will illustrate these (splice) diagrams using easy examples and give another proof of the splicing formula. The advantage of this proof is that it also is valid for these other zeta functions. However I will also discuss some problems arising from considering these other zeta functions.
Jeudi 08 janvier 2015 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
La fonction zêta Z_f(T) d'un polynôme complexe f est une fonction génératrice qui encode certaines propriétés arithmétiques de f. Elle est principalement étudiée pour son rôle central dans la conjecture de monodromie, qui prédit un lien précis entre ses pôles et des propriétés topologiques de f. Une formule classique permet de déterminer un ensemble de candidats pôles à partir d'une résolution des singularités de lieu d'annulation de f, mais cet ensemble introduit malheureusement beaucoup de faux pôles. Nous montrons comment le concept de log lissité, issu de la géométrie logarithmique, permet de travailler sur des résolutions des singularités partielles et ainsi d'obtenir un ensemble réduit de candidats pôles pour Z_f(T). Ce résultat ouvre des perspectives quant à la résolution de la conjecture de monodromie.
Jeudi 18 décembre 2014 à 14h
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Vendredi 12 décembre 2014 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
Sparse elimination theory is a framework developed during the last decades to exploit monomial structures in systems of Laurent polynomials by computing in semigroup algebras. We present an analog of Gröbner bases for semigroup algebras, and we propose variants of the algorithms F5 and FGLM to compute them. These objects provide algorithmic tools to compute efficiently the solutions of sparse systems of equations when all the polynomials share the same monomial support (unmixed case). When these monomials correspond to the points with integer coordinates in a normal lattice polytope and under regularity assumptions, we prove complexity bounds which depend on the combinatorial properties of this polytope. Our prototype ``proof-of-concept'' implementation shows large speed-ups (more than 100 for some examples) compared to classical Gröbner bases software. Joint work with Jean-Charles Faugère and Jules Svartz.
Jeudi 11 décembre 2014 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Sur une variété algébrique définie sur les rationnels et dont les points rationnels sont denses pour la topologie de Zariski, il est naturel de mesurer la complexité des solutions à l'aide d'une hauteur et de regarder la distribution asymptotique des points de hauteurs bornée sur la variété. Des travaux initiés par Manin il y a une vingtaine d'années permettent de lier cette distribution à la géométrie de la variété. Le but de l'exposé est de présenter divers exemples illustrant les phénomènes rencontrés et les interprétations qu'on peut espérer en tirer.
Jeudi 04 décembre 2014 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Le théorème de Puiseux classique dit que les solutions y=g(x) d'une équation analytique réelle f(x,y)=0 au voisinage de l'origine, sont des séries de Puiseux convergentes. Le but de mon exposé sera d'étendre ce résultat, et ses versions en plusieurs variables, à la classe des séries généralisées convergentes. Une série généralisée (en plusieurs variables) est une série de puissances à exposants réels positifs dont le support est contenu dans un produit cartésien de sous-ensembles bien ordonnés de la droite réelle. Soit A la collection de toutes les séries généralisées convergentes. Je vais montrer que si f(x_1,...,x_n,y) est dans A, alors les solutions y=g(x_1,...,x_n) de l'équation f=0 peuvent être exprimées par morceaux comme des compositions finies de quotients de fonctions de A. Ce résultat s'étend à des classes de fonctions définissables dans des expansions o-minimales polynomialement bornées du corps réel, telles les classes quasianalytiques de Denjoy-Carleman, les séries Gevrey multi-sommables et une classe qui contient certaines applications de transition de Dulac associées à des champs de vecteurs analytiques du plan.
Jeudi 27 novembre 2014 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Travail en commun et en cours avec M. Hickel. Nous essayons de comprendre ce qui distingue une série de Puiseux algébrique (sur K(x) le corps des fonctions rationnelles à 1 variable en caractéristique nulle) d'une série de Puiseux formelle. Plus précisément, nous nous intéressons - et répondons en partie - aux questions suivantes : - étant donnée une équation polynomiale P(x,y)=0, quelle expression pour les coefficients d'une série de Puiseux y(x) solution en fonction des coefficients de l'équation ? - étant donnée une série de Puiseux algébrique, peut-on reconstruire un polynôme annulateur, éventuellement minimal ? comment ? Il existe une littérature variée sur ce thème, que j'essaierai de rapporter, avant d'aborder nos contributions.
Jeudi 20 novembre 2014 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
In this talk I will focus on the problem of understanding the topology of an intersection X of real quadrics. I will introduce a new notion of geometric complexity (inspired to fewnomials and related), using the discriminant in the space of quadratic forms. I will discuss a sort of ``duality'' between X and the set of singular quadrics in the linear system defining it; in the case of intersections of three quadrics this picture offers a ``dual'' point of view on Hilbert's Sixteenth Problem.
Jeudi 16 octobre 2014 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Motivé par l'étude de la théorie du corps des nombres complexes avec exponentielle, et remarquant que les fonctions définissables y sont, une fois C identifié à R^2, localement sous-analytiques, Wilkie entame une étude systématique des réduites de R_an engendrées par des fonctions holomorphes restreintes. Il propose la conjecture ci-dessous. Soit A une famille de fonctions holomorphes, et notons R_A| la structure (o-minimale) engendrée par les parties réelles et imaginaires des fonctions de A restreintes aux pavés relativement compacts de leurs domaines. Conjecture (Wilkie 08) : Les fonctions holomorphes localement définissables dans R_A| sont toutes obtenues à partir de A et des polynômes par composition, réflexion de Schwartz, dérivation partielle et prise de fonction implicite. On donnera trois contre-exemples à cette conjecture, qui chacun montre qu'une opération supplémentaire est nécessaire pour obtenir toutes les fonctions localement définissables : la division monomiale, la composition avec les racines n-iemes, et les effondrements. Si le temps le permet, on montrera aussi que ces trois opérations sont, en un certain sens, suffisantes.
Jeudi 09 octobre 2014 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
A partir d'une formule de Gauss-Bonnet pour les germes d'ensembles sous-analytiques fermés, on obtient une caractérisation de l'obstruction d'Euler d'un germe d'ensemble analytique complexe en fonction des courbures de Lipschitz-Killing de sa partie régulière.
Mardi 23 septembre 2014 à 09h
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Jeudi 18 septembre 2014 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Kontsevich et Zagier ont conjecturé que si deux intégrales de fonctions rationnelles sur des domaines donnés par des inéquations de polynômes à coefficients rationnels ont la même valeur, on peut alors transformer l'une en l'autre en utilisant seulement quelques manipulations simples (comme des changements de variables). La même question se pose dans le cadre des intégrales p-adiques. Cette version là s'avère plus facile et nous prouvons l'énoncé p-adique avec Cluckers. Dans un travail en cours nous prouvons aussi l'énoncé analogue dans le cadre des intégrales motiviques. Dans cet exposé, je détaillerai les differentes versions de ces énoncés et j'expliquerai pourquoi la version p-adique est plus simple que la version réelle. Je ne présupposerai pas que l'intégration motivique soit connue.
Jeudi 26 juin 2014 à 16h
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Jeudi 26 juin 2014 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
We investigate continuous rational maps from a compact nonsingular real algebraic variety into unit spheres. In some cases we characterize continuous maps that (a) are homotopic to continuous rational maps, or (b) can be approximated by continuous rational maps. Of course, continuous maps that satisfy (b) also satisfy (a). It remains an open problem whether the converse always holds; we show that it does under certain reasonable assumptions.
Mercredi 25 juin 2014 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Étant donné un polynôme f in Z[x], où x est un uplet de variables, on s'intéresse à déterminer le nombre de zéros dans l'anneau Z/mZ en fonction de m. En général, ceci est un problème difficile, mais Denef-Igusa-Meuser ont démontré que la série de Poincaré associée à f est une fonction rationelle. Ceci donne une relation (assez mystérieuse) entre les nombres de zéros dans Z/p^rZ quand p est un nombre premier fixé et r varie. Je vais donner une explication géométrique de ce résultat. L'ingrédient clé est l'existence de ``t-stratifications'' - stratifications qui, à priori, vivent dans des corps valués, mais qui induisent des stratifications de Whitney dans C et R. (En fait, les stratifications dans C et R induites par des t-stratifications sont même proche d'être des stratifications bilipschitz au sens de Mostowski.)
Jeudi 19 juin 2014 à 10h, Amphithéâtre Nivolet
Résumé : (Masquer les résumés)
V. Kaloshin (2005) gave a method to Whitney stratify semi-algebraic sets. We correct his proof and give a more general result applying to definable sets in arbitrary o-minimal structures. (Work in collaboration with Nguyen Xuan Viet Nhan and Saurabh Trivedi.)
Vendredi 23 mai 2014 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Une question aussi ancienne que la programmation linéaire consiste à trouver une règle de pivotage pour l’algorithme du simplexe conduisant à un nombre polynomial d’opérations. Une autre question consiste à trouver un algorithme résolvant en temps polynomial un jeu répété déterministe dont la valeur est définie comme un paiement moyen par unité de temps. Nous montrons que la convexité tropicale permet de relier ces deux questions: une règle de pivotage satisfaisant certaines conditions techniques permettrait de résoudre les jeux répétés. Nous exhiberons enfin un lien inattendu entre l’analogue tropical du chemin central et le chemin suivi par l’algorithme du simplexe tropical, conduisant à la construction d’exemples pathologiques de chemins centraux classiques dont la courbure totale est grande. Cet exposé présente des travaux récents avec Allamigeon, Benchimol, et Joswig, voir notamment arXiv:1308.0454, arXiv:1309.5925). Il s’appuie sur un travail avec Akian et Guterman (arXiv:0912.2462, IJAC 2012).
Vendredi 09 mai 2014 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Given a set E in a complex space and a point p in E, there is a unique smallest complex-analytic germ containing the germ E_p, called the holomorphic closure of E at p. The variation of holomorphic closure along E may be regarded as a measure of how much the set E is 'twisted' from the point of view of the ambient complex structure. Of particular interest is the situation when E is real-analytic (or, more generally, semianalytic). In this talk, we will explain the relevance of holomorphic closure to the so-called CR geometry (a branch of modern complex analysis). We will also discuss the possibility of taming the holomorphic closure structure and its particularly nice behaviour on arc-symmetric semialgebraic sets.
Vendredi 18 avril 2014 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
Le but de cet exposé est de montrer que sous certaines hypothèses, pouvant être comparées à celles du théorème d'inversion locale, l'inverse d'une application analytique par arcs d'un ensemble algébrique réel dans lui-même est encore analytique par arcs. La première étape consiste à démontrer une version du lemme clé de Denef-Loeser pour la formule de changement de variables motivique qui satisfait nos conditions. Le reste de la preuve repose essentiellement sur le polynôme de Poincaré virtuel de McCrory-Parusinski et de Fichou.
Vendredi 11 avril 2014 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
I will explain how tropical geometry is applicable in estimations of minimal degree of a variety on which we impose conditions like passing through a number of points or lines with prescribed multiplicities.
Vendredi 14 mars 2014 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
Un mécanisme est un ensemble de tiges rigides reliées par des joints flexibles. Mathématiquement, il s'agit d'un graphe ``marqué'' : chaque arête possède une longueur fixée et certains sommets ont une position fixée, tandis que d'autres peuvent se déplacer. L'espace de configuration d'un mécanisme est l'ensemble de ses positions possibles. Cet espace est un ensemble algébrique et, le plus souvent, une variété lisse. La plupart des travaux existants considèrent des mécanismes dans le plan euclidien, même si des mécanismes dans d'autres cadres (sphère, plan hyperbolique) ont déjà été étudiés. En 2002, Millson et Kapovich ont montré que pour toute variété différentiable compacte M, il existe un mécanisme sur le plan euclidien dont l'espace de configuration est l'union disjointe d'un nombre fini de copies de M. C'est un résultat que Thurston avait présenté dans des cours, mais jamais publié. Nous verrons comment ce résultat se transpose dans le cadre de mécanismes sur le plan de Minkowski, c'est-à-dire le plan muni de la forme quadratique non définie dx^2 - dt^2 : dans cette situation, il s'étend même à certaines variétés non compactes.
Vendredi 28 février 2014 à 10h, Université de Lyon
Résumé : (Masquer les résumés)
Inauguration de la Fédération de Recherche en Mathématiques Rhône-Alpes-Auvergne, Lyon, Amphithéâtre ASTREE, 13, Campus scientifique de la Doua Vendredi 28 Février 2014, horaires à définir. Cédric Villani ``Des triangles, des gaz, des prix et des hommes'', Eric Blayo ``Les maths c'est bon pour la planète'', Laurent Chupin ``Equations au cœur de la roche''. Voir http://frmraa.math.cnrs.fr/
Jeudi 27 février 2014 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
We will discuss a geometric proof of the theorem on Nash approximation of analytic maps into algebraic varieties. (Joint work with A. Parusinski.)
Vendredi 21 février 2014 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
La règle de Descartes borne le nombre de racines positives d'un polynôme réel en une variable par le nombre de changements de signe consécutifs de ses coordonnées dans la base monomiale (ordonnée suivant les puissances croissantes). La borne obtenue est optimale et généraliser la règle de Descartes aux systèmes polynomiaux en plusieurs variables est un problème très difficile. Dans un travail avec Alicia Dickenstein (Université de Buenos Aires), nous avons obtenu la première généralisation de la règle de Descartes en plusieurs variables. Notre règle s'applique aux systèmes polynomiaux en un nombre arbitraire n de variables dont le support consiste en n+2 monômes quelconques et est également optimale. Elle borne le nombre de solutions positives d'un tel système par un nombre de changements de signe obtenus en considérant des mineurs maximaux de la matrice des coefficients ainsi que de celle des exposants du système.
Vendredi 07 février 2014 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
L'objet de cet exposé est l'étude des variétés algébriques affines normales munies d'une opération d'un tore algébrique $T$. Le corps de base est supposé arbitraire. Nous exposons une description combinatoire inspirée des travaux de Klaus Altmann et de Juergen Hausen de ces variétés lorsque l'opération de $T$ est de complexité un. Ensuite nous donnerons quelques résultats nouveaux les concernant.
Vendredi 24 janvier 2014 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
Un polynôme non nul de degré d a au plus d racines complexes. Mais on sait, depuis les travaux de Descartes, que le nombre de monômes est lui aussi un paramètre limitant du nombre de racines réelles. Plus précisément, un polynôme avec t monômes a au plus 2t-1 racines réelles. Que se passe t'il maintenant si l'on considère les solutions d'un système de polynômes? Dans, le cas complexe, le théorème de Bézout permet de borner leur nombre par le produit des degrés. Mais dans le cas réel, existerait-il une borne supérieure ne dépendant que des nombres de monômes? Et dans ce cas, quelle est cette borne? Le problème de l'existence a été résolue par Khovanskií, mais la question de son ordre de grandeur reste grandement ouverte. Un cas particulier connu comme le problème de Sevostyanov est celui d'un système composé d'un polynôme de degré d et d'un polynôme t-creux. Nous présenterons dans cet exposé, une borne polynomiale en t et en d pour ce problème..
Vendredi 17 janvier 2014 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
En 1948 H.S. Wall a publié ses résultats sur la théorie analytique des fractions continues. Dans la première partie de cet exposé nous décrivons cette classe remarquable de fractions continues appelées g-fractions. Nous montrerons comment elles peuvent être utilisées pour approcher certaines applications analytiques bornées réelles. La deuxième partie sera consacrée aux divers applications. Nous discuterons la conjecture de Ramanujan, la théorie de renormalisation des applications unimodales, ABC-flow et le problème de n-centres de la Mécanique Céleste
Jeudi 19 décembre 2013 à 15h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Le calcul de l'infimum global $f^star$ d'un polynôme à $n$ variables sous contraintes est une question centrale qui apparaît dans de nombreux domaines des sciences de l'ingénieur. Pour certaines applications, il est important d'obtenir des résultats fiables. De nombreuses techniques ont été développées dans le cas où les contraintes sont données par des inéquations polynomiales. Dans cet exposé, on se concentre sur le problème d'optimisation d'un polynôme à $n$ variables sous des contraintes définies par des équations polynomiales à $n$ variables. Le but est d'obtenir des outils, algorithmes et implémentations efficaces et fiables pour résoudre ces problèmes d'optimisation. La stratégie est de ramener le problème d'optimisation sous des contraintes qui définissent des ensembles algébriques de dimension quelconque à un problème équivalent, sous des nouvelles contraintes dont on maîtrise la dimension. La variété algébrique définie par ces nouvelles contraintes est l'union du lieu critique du polynôme objectif et d'un ensemble algébrique de dimension au plus $1$. Pour cela, on utilise des objets géométriques définis comme lieux critiques de projections linéaires. Grâce au bon contrôle de la dimension, on prouve l'existence de certificats pour des bornes inférieures sur $f^star$ sur nos nouvelles variétés. Ces certificats sont donnés par des sommes de carrés et on ne suppose pas que $f^star$ est atteint. De même, on utilise les propriétés de nos objets géométriques pour concevoir un algorithme exact pour le calcul de $f^star$. S'il existe, l'algorithme renvoie aussi un minimiseur. Pour un problème avec $s$ contraintes et des polynômes de degrés au plus $D$, la complexité est essentiellement cubique en $(sD)^n$ et linéaire en la complexité d'évaluation des entrées. L'implantation, disponible sous forme de bibliothèque Maple, reflète cette complexité. Elle a permis de résoudre des problèmes inatteignables par les autres algorithmes exacts.
Vendredi 13 décembre 2013 à 10h, Belledonnes 240
Résumé : (Masquer les résumés)
Un ensemble fini de sous espaces affines de codimension un d'un espace vectoriel donné est un arrangement d'hyperplans. L'étude des arrangements est un sujet très classique, au carrefour de nombreux domaines des mathématiques comme la combinatoire, la topologie ou la géométrie algébrique. Voici une liste non exhaustive de questions très élémentaires qui sont à l'origine du sujet et qui motivent les travaux le concernant : - ``En combien de régions n droites peuvent diviser le plan ?'' (Roberts 1889, Arnol'd) - Quelles configurations droites/points sont réalisables ? - Combien de pentes sont définies par n points distincts ? (Ungar) - Le problème de Sylvester-Gallai (montrer qu'un ensemble fini de points plans ne possédant pas de bisécante stricte est aligné), - Est-ce qu'un arrangement est déterminé par sa combinatoire ? Je parlerai de la conjecture de Terao (1981 ou 1991) qui concerne plus particulièrement le dernier point (les autres points seront eux aussi abordés). Avec Daniele Faenzi (Univ. Pau) nous avons démontré cette conjecture sur le plan projectif réel ou complexe avec une hypothèse supplémentaire sur les points multiples de l'arrangement. Je présenterai les grandes lignes de notre preuve et surtout de notre approche, radicalement nouvelle par rapport aux approches classiques.
Vendredi 06 décembre 2013 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
For a positive polynomial $fin mathbb{R}[x_1,ldots,x_n]$ we give necessary and sufficient conditions to existence of an exponent $Ninmathbb{N}$ such that $(1+|x|^2)^Nf(x)$ is a convex function, where $|x|^2={x_1^2+cdots+x_n^2}$. Next we show that if $finmathbb{R}[x_1,ldots,x_n]$ is strictly positive on a closed convex basic semialgebraic set $X={xinmathbb{R}^n:g_1(x)ge 0,ldots,g_r (x)ge 0}$, where $g_1,ldots,g_rinmathbb{R}[x_1,ldots,x_n]$ are concave polynomials, then $f$ can be approximated (in the $l_1$ norm) by polynomials of the quadratic module $Q(g_1,ldots,g_r)$. In the case $X=mathbb{R}^n$ the approximation is uniform on compact sets. Joint work with S. Spodzieja.
Vendredi 29 novembre 2013 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
Les invariants de Welschinger sont un analogue réel des invariants de Gromov-Witten, et fournissent des bornes inferieures non triviales en géométrie énumérative réelle. Je rappelerai leur définition, puis expliquerai comment les calculer dans le cas des surfaces algebriques réelles rationnelles. Les méthodes principalement utilisées sont la théorie symplectique des champs, pour découper la variété ambiante en morceaux, et une version réelle des équations WDVV établie par Jake Solomon. Cet exposé porte sur deux travaux, l'un en collaboration avec Nicolas Puignau, l'autre en collaboration avec Jake Solomon.
Vendredi 22 novembre 2013 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
Le discriminant réel est l'ensemble des polynômes homogènes à coefficients réels et pourvus d'au moins une singularité réelle. La norme de Bombieri permet de donner une formule explicite pour la distance au discriminant dont l'étude permet d'obtenir des résultats intéressants en particulier sur les hypersurfaces extrémales (maximum locaux pour la somme des nombres de betti). On définira par exemple la bande critique (la bande la plus large définie par { x in |R^n | ||x|| = 1 et |P(x)| < m} et ne contenant aucun point critique de P) et on montrera que cette bande a une largeur bornée par Pi/sqrt(d) où d est le degré de P lorsque le niveau 0 de P est extrémal. On en déduira une borne (pas très bonne) pour la plus petite valeur critique de P. On regardera le cas particulier de la dimension 0 (polynome homogène à deux variables) où l'on peut trouver une borne optimale de la plus petite valeur critique pour les polynomes de degré d à d racines.
Vendredi 25 octobre 2013 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
Suite de l'exposé précédent
Vendredi 18 octobre 2013 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
Si X est un champ de vecteur analytique de R^{n+1} au voisinage de 0 et admettant une série formelle invariante S(x)=(x,S_1(x),...,S_n(x)), on montre qu'il existe une courbe s:(0,epsilon)-> R^{n+1}, invariante pour X et admettant S comme développement asymptotique à l'origine. Il s'agit d'un travail commun avec T. Cano et F. Sanz.
Vendredi 11 octobre 2013 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
(Exposé en deux parties : 04/10 et 11/10.) Dans ces exposés, on étudie l'existence de certains types de l'inégalité de Lojasiewicz sur des domaines non-compacts et de l'inégalité de Lojasiewicz globale pour les applications polynomiales de plusieurs variables. Partie II: on montre que si une application polynomiale est non-dégénérée au sens Mikhailov-Gindikin, l'inégalité de Lojasiewicz globale existe et les exposants peuvent être calculés.
Vendredi 04 octobre 2013 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
(Exposé en deux parties : 04/10 et 11/10.) Dans ces exposés, on étudie l'existence de certains types de l'inégalité de Lojasiewicz sur des domaines non-compacts et de l'inégalité de Lojasiewicz globale pour les applications polynomiales de plusieurs variables. Partie I: on montre que sous certaines conditions de non-dégénérescence au sens de Khovanskii, l'inégalité de Lojasiewicz globale existe.
Vendredi 27 septembre 2013 à 10h15
Jeudi 27 juin 2013 à 14h
Jeudi 13 juin 2013 à 14h, TLR
Résumé : (Masquer les résumés)
Le 17 ème problème de Hilbert (1900) est le suivant: est ce qu'un polynôme positif en plusieurs variables est une somme de carrés de fractions rationnelles ? La réponse positive d'Artin (1927) est basée sur le lemme de Zorn: tout corps réel (où -1 n'est pas une somme de carrés) peut être ordonné. Artin note déjà qu'une construction effective de la somme de carrés serait souhaitable mais semble difficile. La difficulté vient des dénominateurs: quelles sont les bornes sur leurs degrés ? Un travail de Kreisel (1957) donne des bornes primitive récursives, mais pas élémentairement récursives (i.e. majorés par une tour finie d'exponentielles) Notre travail (en progrès) donne une tour de cinq exponentielles dans le nombre des variables et le degré du polynôme. (Travail en commun avec Henri Lombardi et Daniel Perrucci.)
Vendredi 07 juin 2013 à 10h
Vendredi 17 mai 2013 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
Given any complex Laurent polynomial f we give an efficiently constructible polyhedral approximation of the amoeba of f, i.e., the image of the complex zero set of f under the log absolute value map. We call our polyhedral approximation the Archimedean tropical variety. Our main result is an explicit upper bound (as a function of the sparsity of f) for the Hausdorff distance between these two sets. We thus obtain an Archimedean analogue of Kapranov's Non-Archimedean Amoeba Theorem, and a higher-dimensional extension of earlier estimates of Mikhalkin and Ostrowski. As applications, we obtain efficient approximations for the possible norms of complex roots of polynomial systems, and an alternative, arguably more geometric proof of a formula of Khovanski relating lattice points in polygons and curve genus.
Vendredi 03 mai 2013 à 11h
Vendredi 03 mai 2013 à 10h
Vendredi 12 avril 2013 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
La géométrie spectrale est une branche des mathématiques relativement jeune, et qui se développe très rapidement. Son âge d'or s'est amorcé, entre autre, sous l'influence de Marc Kac qui, en 1966, formula la célèbre question: ``Can one hear the shape of a drum?''. La géométrie spectrale étudie les liens entre la géométrie d'un espace et les valeurs propres d'un opérateur (Laplacien, Dirac, de Schrödinger, etc) agissant sur les fonctions de cet espace. Dans cet exposé, je me concentrerai sur le spectre de l'opérateur de Dirichlet-Neumann. Cet opérateur agit sur les fonctions du bord d'une variété Riemannienne. Son spectre est connu sous le nom de spectre de Steklov de la variété. Je m'attarderai principalement aux aspects isopérimétriques. Les résultats que je présenterai ont été obtenus en collaboration avec Iosif Polterovich, ainsi qu'avec Bruno Colbois et Ahmad El Soufi. Plusieurs de ces résultats semblent indiquer que le spectre de l'opérateur Dirichlet-Neumann est lié à la géométrie sous-jacente de manière similaire au spectre de l'opérateur de Laplace-Beltrami, mais nous verrons qu'il existe des exemples où ces liens sont tout à fait différents, et peut-être même surprenants.
Jeudi 11 avril 2013 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
En géométrie algébrique complexe, les relations entre les fibres de Milnor et les espaces d'arcs d'une fonction polynomiale sont riches, illustrées notamment par les travaux sur les fonctions zêtas motiviques de Denef & Loeser, Nicaise & Sebag et plus récemment Hrushovski & Loeser. Dans le cadre réel, l'absence de monodromie complique la compréhension et rend mystérieuses ces relations. Dans l'exposé, on considère un objet (faiblement o-minimal) composé de séries de Puiseux réelles qui pourrait créer un pont entre ces aspects topologiques et algébriques. On montre en particulier que l'objet en question rend compte de l'homologie de la fibre de Milnor réelle.
Vendredi 05 avril 2013 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
J'expliquerai que dans R^n, le nombre moyen de composantes connexes d'une hypersurface algébrique réelle aléatoire de degr'e d est plus grand que exp(-70 exp(n)) sqrt d^n, pour d assez grand. La démonstration repose sur la résolution du dbar avec estimées L^2 de Hörmander, et c'est un travail en commun avec Jean-Yves Welschinger.
Vendredi 29 mars 2013 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Le théorème d'Abhyankar-Jung affirme que les racines d'un polynôme à coefficients des séries formelles sur un corps de caractéristique nulle et dont le discriminant est un monôme multiplié par une unité sont des séries de Puiseux en plusieurs variables. Nous présenterons une généralisation de ce résultat pour les polynômes dont le discriminant est un polynôme quasi-homogène multiplié par unité. Nous rappellerons la construction de Newton-Puiseux pour la construction des racines d'un polynômes à coefficients dans le corps des racines en une variable.
Vendredi 22 mars 2013 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Je vais présenter un travail en commun avec A. Chambert-Loir dans lequel nous développons, dans le cadre analytique p-adique, et plus précisément dans celui des espaces de Berkovich, un formalisme de type 'formes et courants' ressemblant à celui qui existe en géométrie complexe : nous définissons des formes de type (p,q), l'intégrale d'une forme de type (n,n) et l'intégrale de bord d'une forme de type (n-1,n) (où n est la dimension de l'espace ambiant) ; nous prouvons l'analogue de la formule de Stokes et de la formule de Poincaré-Lelong.... Nous utilisons de manière absolument cruciale une théorie des formes de type (p,q) sur R^n (que nous rapatrions ensuite dans le monde Berkovich) qui a été mise au point par Lagerberg avec des motivations tropicales ; je consacrerai une première partie de l'exposé à expliquer sa construction.
Jeudi 21 mars 2013 à 14h, TLR (à fixer)
Résumé : (Masquer les résumés)
Le but de l'exposé est de faire une introduction élémentaire à l'exposé d'Antoine Ducros. Ainsi, guidé par un joli résultat de Sam Payne, nous commencerons tout d'abord par faire des rappels sur la géométrie et la topologie ultramétrique, puis nous introduirons les espaces de Berkovich et expliquerons ses liens avec la géométrie tropicale.
Vendredi 15 mars 2013 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
En 1974, P. Deligne établit l'existence d'une filtration par le poids sur la cohomologie rationnelle des variétés algébriques complexes. Un analogue de cette filtration pour les variétés algébriques réelles a été introduit par Totaro en 2002. Dans un article publié en 2011, C.McCrory et A. Parusinski en enrichissent la compréhension, notamment en la réalisant par un certain complexe de chaînes filtré, possédant des propriétés que l'on peut lire sur la suite spectrale induite. Considérons maintenant des variétés algébriques réelles munies d'une action algébrique de groupe. La fonctorialité du complexe de poids nous permet de le munir d'une action induite. Ce complexe filtré de poids avec action est la première pierre d'une filtration par le poids équivariante pour les variétés algébriques réelles avec action. On établira différentes propriétés de ces objets équivariants, notamment dans le cas du groupe à deux éléments. On verra ainsi qu'un résultat de ``découpage'' sur les variétés Nash implique un analogue de la suite exacte courte de Smith tenant compte de la filtration, que l'on peut utiliser pour extraire d'une certaine suite spectrale des invariants additifs sur les variétés algébriques réelles munies d'une involution algébrique.
Vendredi 08 mars 2013 à 08h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Attention : horaire inhabituel !
Vendredi 08 février 2013 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Two subanalytic subsets of R^n are called s-equivalent at a common point P if the Hausdorff distance between their intersections with the sphere centered at P of radius r vanishes to order > s when r tends to 0. We proved that every s-equivalence class of a closed semianalytic set contains a semialgebraic representative of the same dimension. Results on approximation of subanalytic sets under suitable assumptions were obtained as well. (joint work with E.Fortuna, L.Wilson).
Vendredi 01 février 2013 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On définit une fonction qui à tout r-uplet de parties finies de Z^n associe un nombre entier positif ou nul. Cette fonction partage de nombreuses propriétés avec le volume mixte classique donnant une borne sur le nombre de solutions complexes de systèmes polynomiaux de polytopes de Newton donnés. On montre que notre volume mixte discrêt donne quant à lui une borne fine sur le nombre de solutions positives de systèmes polynomiaux tropicaux de supports donnés.
Vendredi 18 janvier 2013 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans cet exposé, nous proposerons d'abord un bilan des résultats connus sur les solutions non oscillantes de champs de vecteurs analytiques réels (i.e. des systèmes d'équations différentielles du 1er ordre) en lien avec la géométrie modérée (propriétés de finitude, structures o-minimales, corps de Hardy). Dans la deuxième partie, nous esquisserons deux résultats récents dans ce contexte: l'un en collaboration avec O. LeGal et P. Speissegger sur la dichotomie o-minimal/enlacement pour des systèmes d'équations différentielles linéaires; l'autre en collaboration avec O. LeGal et M. Matusinski sur la possibilité de trouver, pour des systèmes non-linéaires, des extensions du corps de Hardy des coefficients contenant certaines solutions.
Vendredi 14 décembre 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans un travail en commun avec Adolfo Guillot on classifie les germes de connexions analytiques quasihomogènes sur les surfaces. On en déduit une classification des surfaces compactes admettant des connexions analytiques quasihomogènes (i.e. localement homogènes sur un ouvert dense, mais pas partout). J'expliquerai également nos motivations qui proviennent du théorème de M. Gromov de l'orbite dense-ouverte.
Mardi 11 décembre 2012 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans ℝ, une façon classique de décrire le lieu singulier d'un ensemble algébrique ou analytique est de donner une stratification de Whitney. Cluckers-Comte-Loeser ont traduit cette notion dans ℚ_p. Dans mon exposé, je vais présenter un autre type de stratifications dans des corps valués, qui, dans un certain sens, est beaucoup plus fort. En effet, l'information contenue dans une tel ``t-stratification'' n'est pas purement locale, et en particulier, elle induit une stratification dans le corps résiduel. En choisissant bien le corps valué K dans lequel on travaille (avec corps résiduel ℝ), ceci peut être utilisé pour obtenir des stratifications de Whitney classiques à partir des t-stratifications dans K.
Jeudi 06 décembre 2012 à 14h, TLR
Résumé : (Masquer les résumés)
Attention, date inhabituelle, c'est un jeudi à 14h00 ! Je présenterai les résultats des travaux avec Xavier Gomez-Mont et Luis Giraldo sur l'indice GSV des champs de vecteurs sur les hypersurfaces réelles singulières. L'indice GSV généralise l'indice de Poincaré-Hopf sur des hypersurfaces singulières. Je parlerai surtout de comment on peut le calculer à l'aide de signatures de certaines formes bilinéaires définies sur des algèbres locales.
Vendredi 16 novembre 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
I will describe how to construct Hrushovski-Kazhdan style integration in real closed (valued) fields. Of course all the real closed fields that we shall consider are non-archimedean. A typical example is R((Q)). The setting is based on early work by van den Dries-Lewenberg on T-convex theories. It works for any polynomial-bounded o-minimal expansion of the theory of real closed fields.
Vendredi 09 novembre 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
En 1974, P. Deligne établit l'existence d'une filtration par le poids sur la cohomologie rationnelle des variétés algébriques complexes. Un analogue de cette filtration pour les variétés algébriques réelles a été introduit par Totaro en 2002. Dans un article publié en 2011, C.McCrory et A. Parusinski en enrichissent la compréhension, notamment en la réalisant par un certain complexe de chaînes filtré, possédant des propriétés que l'on peut lire sur la suite spectrale induite. Considérons maintenant des variétés algébriques réelles munies d'une action algébrique de groupe. La fonctorialité du complexe de poids nous permet de le munir d'une action induite. Ce complexe filtré de poids avec action est la première pierre d'une filtration par le poids équivariante pour les variétés algébriques réelles avec action. On établira différentes propriétés de ces objets équivariants, notamment dans le cas du groupe à deux éléments. On verra ainsi qu'un résultat de``découpage'' sur les variétés Nash implique un analogue de la suite exacte courte de Smith tenant compte de la filtration, que l'on peut utiliser pour extraire d'une certaine suite spectrale des invariants additifs sur les variétés algébriques réelles munies d'une involution algébrique.
Vendredi 19 octobre 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
La structure obtenue en ajoutant au corps des réels toutes les fonctions analytiques restreintes et toutes les fonctions ``puissance'' est o-minimale. C'est aussi le cas de celle obtenue en ajoutant au corps des réels toutes les fonctions analytiques restreintes et la fonction exponentielle. La première définit strictement moins d'ensembles que la seconde. Je discuterai d'une conjecture stipulant la non-existence d'une structure ``intermédiaire'': définissant strictement plus d'ensembles que la première mais strictement moins que la seconde.
Vendredi 12 octobre 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
This is a joint work with Krzysztof Kurdyka and Adam Parusinski. We say a map f : Rn,0 → Rp is blow-analytic ([2]) if there is a composition σ : M → Rn of locally finitely many blow-ups so that f ◦σ is analytic. We say a map f : Rn,0 → Rp is arc-analytic ([3]) if f◦α is analytic for any analytic map α : R,0 → Rn,0. A blow-analytic map is clearly arc-analytic. It is known that ([1]) a semi- algebraic, arc analytic map is blow-analytic. If a bi-Lipschitz subanalytic homeomorphism is arc-analytic, then the inverse is arc-analytic ([4]). Let us consider a semi-algebraic homeomorphism h : Rn,0 → Rn,0. We show the following conditions are equivalent. • h is arc-analytic and h−1 is Lipschitz. • h−1 is arc-analytic and h is Lipschitz. The key step is to show that det(dh) is bounded away from infinity and zero. To show this, we need (at this moment at least) to compare virtual Poincare polynomials (or motivic measures) of partitions of arc space L(Rn, 0) with respect to certain Nash modification which sends everything normal crossing. In the talk, we describe the detailed proof of the following easier version: A (bi-)blow-analytic homeomotphism is bi-Lipschitz if it is Lipschitz and semi-algebraic.
Vendredi 05 octobre 2012 à 10h15
Vendredi 21 septembre 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Let X and Y be nonsingular real algebraic varieties. A regulous map from X into Y is a continuous map, which is also rational. Such maps form an intermediate class between regular and semi-algebraic maps, and have some remarkable properties. In particular, they are very usefull in the study of pre-algebraic and algebraic vector bundles. For example, one can show that every pre-algebraic vector bundle on X becomes algebraic after finitely many blowin-ups. Consequently, the Stiefel-Whitney classes of pre-algebraic real vector bundles on X are algebraic.
Vendredi 29 juin 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Il sera question du rôle unificateur de l'algèbre réelle eu égard à deux Positivstellensatze classiques : celui de Riesz et Fejer et celui de Quillen. Au titre d'application de ce cadre théorique abstrait, nous proposerons une classification des sous-variétés algébriques réelles de l'espace affine complexe au moyen d'un nouvel invariant : leur complexité hermitienne. De nombreux exemples de degré faible et de dimension faible seront donnés.
Vendredi 15 juin 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Un polynôme mixte introduit par Mutsuo Oka est un polynôme en des variables complexes et leurs conjugées.Dans cet exposé, on considère d'abord une condition de régularité à l'infini qui donne une approximation de l'ensemble de bifurcation pour un polynôme mixte. En particulier, je vais expliquer un résultat pour les polynômes mixtes non-dégénérés qui généralise un théorème de Néméthi et Zaharia.En supposant quelque déformation spéciale, on arrive un résultat de la stablité de monodromie pour une famille de polynômes mixtes.
Mardi 05 juin 2012 à 16h
Résumé : (Masquer les résumés)
Si X est un champ de vecteur analytique de R^3 singulier à l'origine et gamma une trajectoire non oscillante de X adhérante à 0, le pinceau intégral de gamma est l'ensemble des trajectoires de X qui partagent avec gamma la même suite de points omega-limite par éclatements ponctuels. Un théorème de Cano, Moussu et Sanz affirme qu'un tel pinceau est soit enlacé (tout couple de trajectoires du pinceau spirale une infinité de fois) soit séparé (tout couple de trajectoires du pinceau se sépare par une projection sous-analytique). Dans cet exposé, on montre que deux trajectoires d'un pinceau séparé transcendant vivent dans un même corps de Hardy. Il s'agit d'un travail en commun avec M. Matusinski et F. Sanz.
Vendredi 25 mai 2012 à 10h15, Salle Belledonnes 240
Résumé : (Masquer les résumés)
A set of horizontal critical points of a smooth function on a contact manifold can be defined as a set of points where differential of this function and a contact form defining given contact structure are linear dependent. Generically this set is empty or is a smooth submanifold of dimension one. In a compact case we will show when components of it are closed orbits of some Reeb vector field associated with some contact form defining the same contact structure.
Vendredi 11 mai 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Une courbe tropicale code de manière combinatoire une dégénérescence de courbes algébriques complexes. Un problème central en géométrie tropicale est de déterminer quelles propriétés peuvent être remontées de la courbe tropicale aux courbes algébriques en question. Le théorème de Patchwork de Viro permettant de ``recoller'' des courbes algébriques réelles est un exemple de ce type de problématique. Le but de cet exposé est d’expliquer les méthodes tropicales à travers le problème de ``tropicalisation'' des points d’inflexions d’une famille de courbes algébriques planes. Une application de cette étude est l'étude des répartitions possibles des points d'inflexions réels sur une courbe réelle plane. Ce travail est en commun avec Lucia Lopez de Medrano.
Vendredi 20 avril 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On sait définir, après Kashiwara, Brylinski le cycle caractéristique d’un faisceau constructible. On tentera de répondre à la question suivante : comment définir un tel objet dans le contexte des espaces d’arcs ? et on donnera des exemples, notamment celui du cycle caractéristique des cycles proches motiviques d’une fonction.
Vendredi 02 mars 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous commencerons par rappeler un résultat avec Jan Denef reliant espaces d'arcs et points fixes des itérés de la monodromie. Puis nous exposerons un travail récent en collaboration avec Ehud Hrushovski qui en donne une nouvelle démonstration. Cette nouvelle approche, plus géométrique, est basée sur la géométrie non-archimédienne.
Vendredi 24 février 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Le flot géodésique d'une variété à courbure sectionnelle majorée par une constante négative admet une mesure -- dite de Patterson-Sullivan -- relativement à laquelle il est totalement dissipatif et non ergodique ou bien totalement conservatif et ergodique. Nous montrons que cette « loi du zéro-un » est encore satisfaite pour les variétés de rang un.
Vendredi 10 février 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Le problème de Schottky consiste à caractériser les jacobiennes des surfaces de Riemann parmi les variétés abéliennes principalement polarisées. Ce problème classique a été abordé sous de nombreux angles. Dans ce travail en collaboration avec F. Balacheff et H. Parlier, nous généralisons l'approche géométrique développée par P. Buser et P. Sarnak en obtenant de nouvelles estimées sur les longueurs des réseaux des périodes des jacobiennes.
Vendredi 03 février 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
La classification des matériaux élastiques est un vieux problème de mécanique assez fascinant pour les mathématiciens car sa résolution explicite nécessite de nombreux outils mathématiques : théorie des invariants, calcul de stratification, etc. Je présenterai quelques travaux récents sur ce problème et les questions ouvertes qu'il introduit.
Vendredi 27 janvier 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
L'exposé est consacré aux groupes d'homologie dans le cadre tropical. Sous certaines conditions, une variété tropicale peut être approximée par une famille à un paramètre de variétés complexes, et des caractéristiques importantes des variétés de cette famille peuvent être exprimées en termes des groupes d'homologie tropicaux de la variété tropicale considérée. (Travail en commun avec L. Katzarkov, G. Mikhalkin et I. Zharkov.)
Vendredi 20 janvier 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Un résultat central de géométrie analytique réelle est le théorème de rectilinéarisation d'Hironaka, qui affirme que tout ensemble sous-analytique borné peut être décrit par un nombre fini d'égalités et inégalités satisfaites par des compositions de fonctions analytiques et de la fonction 1/x. Nous étendons cet énoncé à des algèbres quasi-analytiques, en donnant des exemples d'applications. Nous expliquons en particulier comment des arguments de théorie des modèles permettent de se passer du traditionnel théorème de préparation de Weierstrass, qui fait défaut dans les classes quasi-analytiques. (travail en commun avec J.-P. Rolin).
Vendredi 13 janvier 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Quelle est la loi de réfraction de la lumière quand celle-ci traverse des espaces normés ? Quel est le volume de la boule unitaire d'un espace normé ? Quelle est l'aire de la sphère unitaire ? Y-a-t'il une généralisation naturelle du théorème de Gauss-Bonnet pour les surfaces finslériennes ? Pour résumer le résumé: une introduction irresponsable et amusante à la géométrie finslérienne.
Vendredi 06 janvier 2012 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous présenterons une nouvelle preuve du théorème (du à Cheeger) que l'opérateur de la signature est Fredholm sur un espace de Witt compact orientable. Les arguments de cette preuve permettent d'aborder le cas où l'espace n'est plus de Witt mais admet des conditions dites idéales au sens de Cheeger.
Vendredi 09 décembre 2011 à 14h30, TLR
Vendredi 04 novembre 2011 à 10h15
Vendredi 21 octobre 2011 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Le gradient horizontal est défini comme la projection du gradient (riemannien) sur une certaine distribution par rapport à une métrique donnée. Puisque l'inégalité de Lojasiewicz n'est plus forcément valable, gradient horizontal est plus difficile à étudier que gradient. Dans cet exposé, on essaye d'expliquer quelle est la difficulté quand on passe du cas de distributions de codimension 1 au cas de distributions de codimension 2. Au passage, on montre quelques propriétés génériques du gradient horizontal dans le cas le plus simple qui est le cas de structure d'Engel standard.
Vendredi 14 octobre 2011 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On expliquera comment construire un anneau de Grothendieck pour les formules semi-algébriques réelles, dans lequel s'injecte l'anneau de Grothendieck des variétés algébriques K_0(A_R), et qui se réalise dans K_0(A_R) otimes Z[1/2]. On montre ensuite la formule de Denef-Loeser pour des fonctions zêta de nature semi-algébriques puis que les fibres de Milnor semi-algébriques motiviques induites par la rationalité des fonctions zêta se réalisent via la caractéristique d'Euler à supports compacts sur la caractéristique d'Euler des objets semi-algébriques sous-jacents.
Vendredi 07 octobre 2011 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans cet exposé, on donne des conditions suffisantes pour l'existence de l'inégalité de Lojasiewicz et quelques versions de cette égalité sur des domaines non-compacts en utilisant un outil bien connu dans la théorie d'Optimisation qui est le principe variationnel d'Ekeland. En conséquence, on montre que ces études sont liées à la phénomène de singularité à l'infini.
Vendredi 30 septembre 2011 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On étudie l anneau des fonctions rationnelles qui se prolongent par continuité sur R^n. Ces fonctions ont fait l'objet d'un article récent de Kollar. On établit plusieurs propriétés de cet anneau en particulier le Nullstellensatz. On caractérise ensuite les idéaux premiers de cet anneau a travers leurs lieux d'annulation. C'est un travail en commun avec G. Fichou, J. Huisman et F. Mangolte.
Mardi 05 juillet 2011 à 10h15, TLR
Jeudi 30 juin 2011 à 10h15, Belledonnes 240
Résumé : (Masquer les résumés)
Étant donné un sous-ensemble analytique ou algébrique réel d'un ouvert de C^n, il est naturel de se demander dans quelle mesure il hérite de la structure complexe de l'espace ambiant. Je présenterai une série de résultats concernant l'aspect modéré ou non de différentes notions mesurant la ``complexité'' d'un tel ensemble réel. (Travail en commun avec J. Adamus et R. Shafikov, the University of Western Ontario)
Mercredi 01 juin 2011 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Attention: jour inhabituel !!
Vendredi 15 avril 2011 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Soit M un ensemble symétrique de R^n (invariant sous permutations de coordonnées), et soit lambda^{-1}M l'ensemble des matrices symétriques dont les valeurs propres sont dans M. Alors lambda^{-1}M est une variété C2, C^{infty}, analytique, algébrique si M l'est. Travail en collaboration avec: J. Malick (Grenoble), H. Sendov (London, Canada)
Vendredi 08 avril 2011 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Les valuations convexes jouent un rôle important en géométrie convexe. Récemment, une riche structure algébrique sur l'espace des valuations continues et invariantes par translations a été découverte. Le produit, la convolution et la transformée de Fourier des valuations sont liés à des formules géométriques comme les formules cinématiques.
Vendredi 25 mars 2011 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
La correspondance de Riemann--Hilbert est un résultat très profond qui donne une équivalence entre la catégorie de certains systèmes d'équations différentiells linéaires et celle de certains faisceaux sur une variété analytique. La première catégorie est de nature analytique et est composée des équations, appelées régulières, avec des conditions de croissance modérée pour les solutions. La deuxième est de nature topologique et combinatoire et est constituée de faisceaux localement constants sur les strates d'une stratification analytique. Le cas irrégulier est beaucoup plus difficile. Il est connu localement en dimension 1 et d'importants résultats ont été très récemment démontrés en dimension supérieure par C. Sabbah, T. Mochizuki et K. Kedlaya. Nous introduirons ces sujets d'une faccon très concrète à travers une suite d'exemples explicatifs. Puis nous introduirons le site sous-analytique et les fonctions holomorphes temps définies par M. Kashiwara et P. Schapira en 2001 se basant sur des travaux de S. Lojasiewicz. Nous expliquerons comment ces nouveaux objets permettent d'améliorer les résultats classiques. La géométrie sous-analytique se révèle etre essentielle et très utile pour définir des invariants globaux en toute dimension. Si le temps le permet, nous expliquerons les relations étroites de ces objets avec le spectre réel défini par M. Coste et M.F. Roy et les espaces de Berkovich et Huber.
Jeudi 24 mars 2011 à 10h15, Belledonnes 228-230
Résumé : (Masquer les résumés)
(ATTENTION: jour et lieu inhabituels) Une structure presque-riemannienne sur une variété est une généralisation d'une structure riemannienne où les éléments des bases locales orthonormales satisfont la condition de Hörmander et peuvent être colinéaires. On présente une étude des surfaces presque-riemanniennes avec de points de tangence, i.e., points où deux générateurs de la distribution ainsi que leur crochet sont parallèles. En particulier on analyse le cas générique autour d'un point de tangence. Du point de vue global, on démontre un résultat de classification au sens lipschitz des surfaces presque-riemanniennes avec points de tangence ainsi qu'une formule de Gauss--Bonnet.
Vendredi 18 mars 2011 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Soit U une variété algébrique complexe et f:U->C une application régulière. Par application du théorème d'existence des stratifications de Whitney et du théorème de fibration de Thom-Mather, il existe R>0 tel que f:Uf^{-1}(D(0,R))->CD(0,R) est une fibration topologique localement triviale. La fibre de cette fibration est appellée ``fibre de Milnor à l'infini''. Un invariant classique associé est le spectre de Hodge-Steenbrink à l'infini de f. Nous montrons dans cet exposé comment construire une ``fibre de Milnor motivique à l'infini'' analogue motivique de la fibre de Milnor à l'infini. Cet objet est construit à partir d'une compactification mais n'en dépend pas. Il permet notamment de retrouver le spectre à l'infini de f. Nous donnerons en particulier, son expression dans le cas d'un polynôme non dégénéré pour son polyèdre de Newton à l'infini.
Vendredi 11 mars 2011 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On commencera par introduire la géométrie tropicale, qui est de la géométrie algébrique à saveur combinatoire.Ensuite on expliquera une stratégie tropicale pour démontrer des théorèmes portantsur le nombre de courbes rationnelles sur une hypersurface générale complexe.Puis on se concentrera sur le cas d'une surface quintique dans P^3: H. Clemens a démontré qu'une telle quintique suffisamment générale n'a aucune courbe rationnelle. On expliquera notre progrès vers une démonstration purement tropicale de ce résultat. Nos méthodes suggèrent une voie potentielle vers une démonstration de la célèbre conjecture de Clemens qui prévoit que toute courbe rationnelle sur une quintique générale dans P^4 est rigide.
Vendredi 04 février 2011 à 10h15, TLR
Résumé : (Masquer les résumés)
Given a set S_c= {(x,y)in R2: f(x,y) <= c} we show that any polynomial which is bounded on S_c is bounded also on S_d as long as there is no real bifurcation value of the complexification of f between the real numbers c and d. We will discuss this result and point out some of its consequences.
Vendredi 21 janvier 2011 à 10h15, TLR
Résumé : (Masquer les résumés)
Cet exposé supposera connues les définitions de base expliquées lors de l'exposé de la veille. J'expliquerai comment le théorème de réduction semi-stable (dont je rappellerai l'énoncé en détail) permet de décrire la topologie locale et globale des courbes de Berkovich, et notamment de relier leur type d'homotopie à leur réduction modulo p ; je dirai quelques mots sur la façon dont on peut procéder en sens contraire, c'est-à-dire déduire le théorème de réduction semi-stable d'une étude directe des courbes de Berkovich. Je passerai ensuite à la topologie des espaces de Berkovich associés à des variétés algébriques de dimension quelconque et à celle de leurs sous-ensembles semi-algébriques, que je définirai. Je présenterai les différents résultats qui ont été établis à ce jour à leur sujet (type d'homotopie, modération topologique...), depuis les articles de Berkovich dans les années 90, fondés sur des techniques très profondes de géométrie arithmétique (altérations de de Jong), jusqu'aux travaux très récents de Hrushovski et Loeser, qui reposent sur des outils avancés de théorie des modèles des corps valués.
Vendredi 14 janvier 2011 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
In 2004, it is proved that the cut locus of a general point on two dimensional ellipsoid is a a segment of a curvature line and proved Jacobi's last geometric statement on the singularities of the conjugate locus. We will show the cut loci of a general point on higher dimensional ellipsoids are closed disks of codimension one and determine the singularities of the conjugate loci. Moreover we will discuss other related topics.
Vendredi 10 décembre 2010 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans un espace métrique compact (X,d), l’ensemble A(x) des antipodes du point x est l’ensemble des maxima globaux de la fonction qui à un point y associe d(x,y). Si (X,d) est le plan projectif réel à courbure constante, alors pour tout x, A(x) est une courbe fermée. L’objet de cet exposé sera de montrer la réciproque : si sur une surface riemannienne lisse chaque point (diamétral) a un ensemble d’antipodes sans extrémités (par exemple une courbe fermée), alors il s’agit du plan projectif réel à courbure constante.
Vendredi 03 décembre 2010 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Les fonctions définissables des structures o-minimales polynomialement bornées satisfont une forme particulière de théorème de préparation. Nous montrons comment, si ces structures sont engendrées par des algèbres quasi-analytiques, rendre explicite ce résultat et en déduire une propriété d'élimination à la Tarski-Seidenberg.
Vendredi 26 novembre 2010 à 10h15, ATTENTION: Salle Belledonnes 227
Résumé : (Masquer les résumés)
A smooth complex plane quartic f(x,y,z) = 0 is classically known to have 28 bitangents, 36 linear symmetric determinantal representations and 63 representations as a sum of three squares of quadratic forms. We first review some of the beautiful relations that exists between these objects, and then explain the count in the case of quartics defined over the reals.
Vendredi 19 novembre 2010 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
I shall give a brief introduction to the theory of contact structures and explain basic properties of the horizontal critical set for generic Morse functions.
Vendredi 05 novembre 2010 à 10h15
Vendredi 08 octobre 2010 à 10h15, TLR
Résumé : (Masquer les résumés)
Je donnerai quelques directions de recherches actuelles en théorie de la mesure géométrique algébrique après, entre autres, les travaux de J. Fu, S. Aleshker, A. Bernig.
Vendredi 24 septembre 2010 à 11h20, TLR
Résumé : (Masquer les résumés)
We give an effective formula for the local Lojasiewicz exponent of a polynomial mapping. Moreover, we give an algorithm for computing the local dimension of an algebraic variety.
Vendredi 24 septembre 2010 à 10h15, TLR
Résumé : (Masquer les résumés)
In the sixties Kuiper and Kuo gave a sufficient condition for the topological equivalence of the function germs. The aim of our presentation is to generalize this result to the case of mappings at infinity.
Jeudi 01 juillet 2010 à 10h, TLR
Résumé : (Masquer les résumés)
On donnera un critère pour qu'une application $F: C2 to C2$, non singulière, soit propre, en termes d'homologie d'intersection.
Mercredi 30 juin 2010 à 16h, TLR
Résumé : (Masquer les résumés)
Etant donnée une variété différentiable sous-analytique bornée (non necéssairement compacte), on considère les formes différentiables dont la norme est intégrable sur la variété. Je donnerai des théorèmes qui concernent la cohomologie de ces formes.
Vendredi 25 juin 2010 à 10h15
Mardi 08 juin 2010 à 09h, Annecy le vieux : dans le cadre de la fédération LAMA-LAPTH
Vendredi 30 avril 2010 à 10h15
Vendredi 23 avril 2010 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
(Travail en commun avec J. Blanc) La richesse du groupe d'automorphisme d'une surface algébrique affine (lisse) S est intimement liées à l'existence de familles de courbes rationnelles affines sur S : ainsi, si S admet ``peu'' de courbes rationnelles, la composante neutre de son groupe d'automorphisme est un tore de dimension au plus 2. A contrario, si S est couverte par une famille de courbes rationnelles, alors sont groupe d'automorphisme est en général de dimension infinie, en particulier, non algébrique. Dans cet exposé, on s'intéressera plus en détail au cas des surfaces rationnelles et l'on expliquera comment ont peut préciser un peu la structure de leurs groupes d'automorphisme via l'étude des différents réglagles de ces surfaces par des courbes rationnelles.
Vendredi 09 avril 2010 à 10h
Mardi 06 avril 2010 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
La cohomologie de Deligne-Beilinson trouve sa première application physique en mécanique quantique, tout d'abord dans l'effet Aharonov-Bohm, puis en fournissant un nouvel éclairage à la procédure de quantification appelée ``Quantification Géométrique''. Très récemment, le rôle fondamental que joue la cohomologie de Deligne-Beilinson dans la compréhension de la détermination d'invariants de liens dans les théories de Chern-Simons abéliennes a été mis en évidence. Elle permet notamment de faire apparaitre naturellement la quantification des différentes charges (niveau k de la théorie de Chern-Simons et charges des boucles), d'interpréter la procédure de régularisation par « framing », et de calculer les invariants de liens de manière non-perturbative. De plus, ces méthodes s’étendent directement aux cas des variétés compactes sans bord, avec ou sans torsion, de dimension 4n+3 et leurs (2n+1)-liens.
Vendredi 02 avril 2010 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Soit M ⊂ R^n une sous-variété analytique lisse. Si on note d(x, M) la distance euclidienne de x à M , alors il existe un voisinage U ⊃ M tel que pour tout x ∈ U on ait d(x, M ) = ||x−m(x)|| pour un unique point m(x) ∈ M et la fonction m : U → M qui en résulte est analytique. Ce simple fait classique et utile sera le point de départ de l'exposé dans lequel nous essayerons de répondre à la question suivante : qu’advient-il si on permet à M d’avoir des singularités ? Autrement dit, on tâchera d’obtenir un résultat similaire dans le cas où M est un ensemble sous-analytique compact ou encore définissable dans une structure o-minimale.
Vendredi 26 mars 2010 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
L'objet de cet expose est de montrer comment certaines techniques issues de l'analyse des series divergentes peuvent etre utilisees pour obtenir la o-minimalite de certaines solutions d'equations differentielles. Partant d'une solution non-oscillante Y(x) d'un systeme de la forme x^(p+1)Y'=F(x,Y) dont le developpement en 0 est divergent, on montrera comment l'etude des phenomenes de stokes associes aux resommations de ce developpement permet dans certains cas d'obtenir une propriete de forte transcendance analytique, connue pour impliquer la o-minimalite. Les idees presentees proviennent de travaux en commun avec J.-P. Rolin, et avec F. Sanz et P. Speissegger.
Jeudi 25 mars 2010 à 11h, Annecy : Seminaire LAPTH
Résumé : (Masquer les résumés)
We will show how to construct partition and n-point functions for vertex operator (super) algebras on genus two Riemann surfaces.
Vendredi 19 mars 2010 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans cet exposé, j'essaierai de présenter les groupes d'automorphismes (ou difféomorphismes birationnels) de surfaces réelles et de décrire ceux qui ont une action très transitive sur les points de la surface. Les surfaces les plus importantes dans ce contexte sont les fibrations en coniques dont la partie réelle a un petit nombre de composantes connexes. Il s'agit d'un travail récent effectué en collaboration avec Frédéric Mangolte.
Vendredi 12 mars 2010 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Soit X un variété irréductible et f ∈ k[X] une fonction régulière. On peut construire un variété Susp(X,f) de dimension dim X+1 dite une suspension. Cette construction conserve certaines propriétés de X. Comme application, on construit une suite de variétés affines X telles que le groupe des automorphismes algébriques Aut(X) agit sur reg X m-transitivement (travail en commun avec I. Arzhantsev et M. Zaidenberg).
Vendredi 12 février 2010 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Les fibrés en tores au dessus du cercle sont classifiés par les difféomorphismes du tore sur lui-même. Si le difféomorphisme est hyperbolique, nous montrons qu'un tel fibré ne peut pas être plongé dans le lieu réel d'un fibré algébrique en surfaces rationnelles, ce qui réponds par l'affirmative à une conjecture de János Kollár. (Travail en collaboration avec Jean-Yves Welschinger.)
Vendredi 29 janvier 2010 à 10h15
Vendredi 22 janvier 2010 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Les nœuds isotopes sont cobordants, mais la réciproque est fausse en général. Dans un premier temps nous redonnerons les définitions et propriétés élémentaire utiles à l'étude du cobordisme des nœuds fibrés. Ensuite, après avoir expliqué les classifications connues des nœuds fibrés à cobordisme près, nous étudierons en détails les classes de cobordisme de certaines singularités.
Vendredi 11 décembre 2009 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Les courbes sur une variété sont apparues ces vingt dernières années comme un outil très efficace pour étudier les propriétés géométriques de la variété. On peut même, dans certains cas, déterminer complètement sa géométrie ; on obtient ainsi de nouvelles caractérisations des espaces projectifs et des quadriques lisses.
Jeudi 10 décembre 2009 à 15h
Résumé : (Masquer les résumés)
Given a semialgebraic set S, we study the ring B of polynomials that are bounded on S. The size of B can be seen as a measure for the ``compactness'' of S. In general, B is not a finitely generated R-algebra. In this talk, we will discuss necessary and sufficient conditions for B to be finitely generated. In particular, we show that B(S) is finitely generated if S is of dimension at most 2 and sufficiently regular. If time permits, we will also address some applications to certificates of positivity. (joint work with Claus Scheiderer)
Vendredi 04 décembre 2009 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Que peut-on dire du spectre de la somme $A+B$ de deux matrices hermitiennes si l'on ne connait que les spectres de $A$ et de $B$ ? Depuis 1912, cette question a été abordée tour à tour par des méthodes d'algèbre linéaire, de géométrie symplectique, de combinatoire, de géométrie immobilière, de géométrie algébrique, de théorie des représentations des groupes ou des carquois... Nous présenterons dans cet exposé l'interprétation de cette question en termes de théorie des représentations du groupe ${rm GL}_n({mathbb C})$. Ceci nous conduira à des généralisations naturelles et utiles. Nous présenterons ensuite les progrès récents permis par la géométrie algébrique.
Vendredi 20 novembre 2009 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Etant donné un germe de surface complexe à singularité isolée, son bord est une variété compacte de dimension 3 portant une orientation et une structure de contact canoniques. La théorie des déformations de la singularité fournit un nombre fini, à difféomorphismes près, de remplissages de Stein de ce bord de contact, les fibres de Milnor de la singularité. C'est un problème très largement ouvert de décrire ces fibres de Milnor parmi les remplissages de ce bord de contact. Je décrirai l'état de l'art concernant ce problème, et en particulier mes contributions faites en collaboration avec András Némethi.
Vendredi 06 novembre 2009 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
L’indice radial d’une 1-forme sur un ensemble singulier est une généralisation de l’indice de Poincaré-Hopf. On considère différentes classes d’ensembles semi-analytiques fermés dans $\mathbb{R}^n$ qui contiennent $0$ dans leur lieu singulier et nous relions l’indice radial d’une 1-forme en $0$ sur ces ensembles à des indices de Poincaré-Hopf en $0$ de champs de vecteurs définis sur $\mathbb{R}^n$.
Vendredi 23 octobre 2009 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
I prove that a set of non-properness of a dominant polynomial mapping f : X -> Y is always a k-uniruled hypersurface. As application, we see that a set of fixed points of unipotent group acting on affine variety is k-uniruled.
Vendredi 16 octobre 2009 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Let (X,\omega) be blown-up CP^2 equipped with some symplectic form. I show that Lagrangian isotopy classes of spheres in (X,\omega) can be indexed by conjugacy classes of certain generators in the group G of connected components of the symplectomorphism group of (X,\omega). Then I show that this group is isomorphic to the fundamental group G of the complement to certain divisor D in (Cp^2)^k parametrising certain constellations of k points in CP^2. I describe a presentation of the group G and compute it for certain special case. As the result, I show that for a special choice of the Kähler form in CP^2 blown-up in 5 points the Lagrangian isotopy classes of spheres representing a given homology class are paramtrized by integer 2x2-matrices in Gl(2,Z) conjugated to the matrix
| 1 2 |
| 0 1 |.
Vendredi 09 octobre 2009 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Les ensembles semi-algébriques et sous-analytiques p-adiques ont été introduits et étudiés par McIntyre, Denef et Van den Dries entre autres. Nous étudierons la géométrie des germes d'ensembles de ces catégories, tout particulièrement leurs propriétés métriques, comme l'existence de la densité locale et de cônes tangents distingués en montrant comment les propriétés géométriques des ensembles sous-analytiques réels se traduisent dans le cas valué.
Vendredi 25 septembre 2009 à 10h15
Vendredi 18 septembre 2009 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On s’intéresse aux structures R_f = (R,+,*,<,f) engendrées par une fonction C^\infty f restreinte à un compact. L’objet de cet exposé est de montrer que pour une fonction f générique, la structure R_f est o-minimale. On exibera en effet une condition explicite sur les développements de Taylor de f qui implique la o-minimalité de R_f et est générique au sens de Whitney. L’essentiel de la preuve consiste a établir la quasi-analyticité de certaines algèbres differentielles engendrées par f. Ce résultat permet d’obtenir très simplement les corollaires suivants (les deux premiers étant déjà connus) : 1. Il existe des structures o-minimales n’admettant pas la propriété de décomposition analytique. 2. Il existe des structures o-minimales incompatibles (au sens où elles ne sont pas des restrictions d’une même structure o-minimale) 3. Il existe des structures o-minimales incompatibles avec les sous-analytiques.
Vendredi 29 mai 2009 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On donnera la définition des objets en questions avec quelques motivations et des exemples simples. Ensuite, on interprètera ces objets comme un lien entre la géométrie complexe et la géométrie tropicale. Enfin on verra une ou deux applications à certains problèmes de la géométrie algébrique classique, par exemple une condition nécessaire sur les coefficients d'un polynôme réel à deux variables pour que ses zéros réels définissent une courbes de Harnack.
Vendredi 24 avril 2009 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans un travail en commun avec Joseph Fu, on a pu établir d'une facon explicite les formules cinématiques pour le groupe unitaire $U(n)$. La solution est basée sur une algébraisation de la géométrie intégrale qui a été initiée par Semyon Alesker. Après avoir revu la formule cinématique classique de Chern-Blaschke-Santalo, je donne un apercu de la géométrie intégrale hermitienne.
Vendredi 10 avril 2009 à 10h15
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Vendredi 20 mars 2009 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Etant donné un Lagrangien sur un sous-fibré du fibré tangent à une variété, le principe du maximum de Pontryagine permet de définir une notion naturelle de courbe extrémale de ce Lagrangien. Lorsque ce Lagrangien est régulier, on peut adapter à ce contexte, la dualité classique entre ``formalisme lagrangien'' et ``formalisme hamiltonien'' via une transformation de Legendre. Enfin, on peut aussi construire une unique ``pseudo-connexion'' intrinsèque sur un fibré adéquat, dont les ``géodésiques'' sont les extrémales de ce Lagrangien. On donne également des conditions suffisantes pour qu'une extrémale soit (localement) optimale.
Vendredi 13 mars 2009 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On définit une multiplicité d'intersection pour des hypersurfaces tropicales donnée par des volumes mixtes de polytopes associés. On montre que cette multiplicité a des propriétés comparables à celles de la multiplicité d'intersection dans le monde complexe. Par exemple, les théorèmes de Bézout et de Bernstein-Kouchnirenko restent valables dans le monde tropical.
Vendredi 06 mars 2009 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Les invariants de Welschinger sont des analogues réels d'invariants de Gromov-Witten de genre zéro. L'approche tropicale basée sur le théorème de correspondance de G. Mikhalkin permet de calculer les invariants de Welschinger dans un certain nombre de cas. En particulier, G. Mikhalkin a démontré des congruences modulo 4 pour les invariants de Welschinger des surfaces toriques de Del Pezzo. En utilisant l'approche tropicale, on établit des congruences modulo 4 pour les invariants de Welschinger du plan projectif éclaté en 4 ou 5 points réels (travail en commun avec V. Kharlamov et E. Shustin).
Vendredi 27 février 2009 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Une question naturelle en algèbre commutative consiste à savoir si l'anneau des coefficients d'un anneau de polynômes en une variable t est bien déterminé : autrement dit, si A et B sont deux anneaux tel que A[t]=B[t], est-il vrai que A=B ? Il est facile de se convaincre que cette simplification ne se produit pas en général, un contre-exemple géométrique typique étant fourni par le fait classique que le fibré tangent à la sphère réelle de dimension 2 est non trivial mais stablement trivial. La version géométrique de cette question dans le cas des variétés algébriques complexes affines se trouve être plus subtile. Dans cet exposé, je ferai un bref panorama des résultats généreaux connus et présenterai un contre-exemple obtenu avec des surfaces affines par Danielewski en 1989. Je donnerai quelques pistes permettant de construire des analogues en dimension supérieure. J'expliquerai ensuite comment ces types de contre-exemples peuvent intervenir dans la construction et l'étude de structures de variétés algébriques complexes exotiques sur les espaces affines euclidiens et certaines de leurs sous-variétés.
Vendredi 30 janvier 2009 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Soit X une surface géométriquement rationnelle définie sur R et M une composante connexe de X(R). Le théorème de Comessatti (1914) affirme que si X est non-singulière et M orientable, alors M est une sphère ou un tore. Nous avons montré que si X admet des singularités Du Val et que M est un orbifold orientable, alors M est sphérique ou euclidien. Mais le cas non-orientable réservait une surprise : en effet lorsque X est minimale et non-singulière, M ne peut pas être de type hyperbolique (Comessatti encore). Nous avons construit un exemple singulier où X est minimale et M est de type hyperbolique. Ces résultats ont notamment des applications à la classification des variétés réelles de dimension 3 qui sont rationnellement connexes. (Travail en collaboration avec Fabrizio Catanese.)
Vendredi 23 janvier 2009 à 10h15
Vendredi 09 janvier 2009 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Après avoir rappelé des résultats classiques relatifs aux inégalités de type iso-périmétriques dans les problèmes de valeurs propres du laplacien, je présenterai quelques résultats numériques liés à ces problèmes. Dans un deuxième temps, je m'intéresserai plus en détail à un problème de partition optimale qui a reçu une attention particulière ces dernières années.
Vendredi 12 décembre 2008 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Combien de points doubles (singularités A_1 ) peut avoir une surface algébrique complexe de degré d? D'après Miyaoka, ce nombre est asymptotiquement borné par 4/9 * d^3 , et Chmutov construisit des surfaces de degré d avec 5/12 * d^3 points doubles. Pour une surface algébrique réelle, on peut donner une meilleure borne sur le nombre de points doubles isolés : 5/12 * d^3 . Savoir si ces deux bornes supérieures (complexes et réelles) sont optimales est toujours un problème ouvert. Le but de cet exposé est d'expliquer la méthode de construction de Chmutov, et d'expliquer comment l'adapter pour construire des surfaces algébriques réelles avec 1/4 * d^3 points doubles isolés. J'expliquerai aussi pourquoi cette méthode ne peut donner de meilleur résultat. Ce travail est en commun avec Oliver Labs.
Vendredi 28 novembre 2008 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Pour des problèmes généraux de contrôle optimal, on démontre que, s'il n'existe aucune trajectoire singulière minimisante, alors la fonction valeur associée est sous-analytique, mais perd cette propriété en général en présence de telles trajectoires (ces notions sont rappelées et discutées, ainsi que la validité et la pertinence de cette hypothèse). Ces résultats ont des conséquences dans les théories d'Hamilton-Jacobi et de stabilisation: on montre que la solution de viscosité de certaines classes d'équations d'Hamilton-Jacobi (de type eikonales généralisées) est sous-analytique, ce qui implique en particulier que l'ensemble des singularités de la solution de viscosité est une sous-variété stratifiée de codimension au moins un; on montre également des résultats généraux portant sur la stabilisation de systèmes de contrôle.
Jeudi 27 novembre 2008 à 15h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Cette série d'exposés, destinée à un large public, a pour but d'expliquer plusieurs résultats nouveaux obtenus en collaboration avec János Kollár (Princeton).
Dans ce troisième opus, nous étudierons les transformations de Cremona qui préservent la sphère. Nous prouverons que l'action de ces transformations sur la sphère est fortement transitive. Nous montrerons comment utiliser ce résultat pour en déduire un résultat de densité sur les surface non orientables.
L'ambition au terme de la série d'exposés est de montrer que l'action des transformations de Cremona sur les points réels des quadriques révèle toute la complexité des difféomorphismes de la sphère, du tore et de toutes les surfaces non orientables. Le résultat principal dit que si X est rationnelle, alors Aut(X), le groupe des automorphismes algébriques, est dense dans Diff(X), le groupe des difféomorphismes de X. Ces groupes sont notamment étudiés pour leurs propriétés dynamiques.
Vendredi 14 novembre 2008 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous étudions les fibrations de Lefschetz réelles. Nous présentons des invariants de fibrations de Lefschetz réelles au dessus de D^2 ou S^2 n'ayant que des valeurs critiques réelles. Dans le cas où le genre des fibres est égal à 1 (elliptique), nous obtenons un objet combinatoire, appelé le diagramme de collier. En utilisant les diagrammes de collier nous obtenons une classification des fibrations de Lefschetz elliptiques réelles admettant une section réelle et dont toutes les valeurs critiques sont réelles. Nous définissons les diagrammes de collier raffinés pour les fibrations qui n'admettent pas de section réelle. Grâce aux diagrammes de collier, nous observons l'existence de quelques exemples intéressants.
Vendredi 14 novembre 2008 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Les inégalités matricielles linéaires généralisent les systèmes d'inégalités linéaires. Pour les résoudre il existent des méthodes numériques extrêmement efficaces. En même temps, des résultats récents de Helton, Nie et Vinnikov montrent que beaucoup des ensembles semi-algébriques convexes peuvent être définis par une inégalité matricielle linéaire sans ou avec variables additionnelles. Ceci est en forte contraste avec les systèmes d'inégalités linéaires qui définissent toujours un polyèdre. La seule condition nécessaire connue en ce moment pour un ensemble de s'écrire dans ce sens avec ou sans variables additionnelles est d'être respectivement semi-algébrique convexe ou rigidement convexe. Il semble même possible que ces conditions sont suffisantes. Cet exposé est une introduction au sujet avec des contributions modestes récemment obtenues en commun avec Tim Netzer et Daniel Plaumann.
Vendredi 24 octobre 2008 à 09h, Annecy-le-Vieux
Résumé : (Masquer les résumés)
School : 20 - 22 October 2008 + Workshop : 23 & 24 October 2008
Mardi 21 octobre 2008 à 15h15, Salle Mt BLANC-212
Résumé : (Masquer les résumés)
Cette série d'exposés, destinée à un large public, a pour but d'expliquer plusieurs résultats nouveaux obtenus en collaboration avec János Kollár (Princeton).
Ce deuxième opus sera dédié à l'action des transformations de Cremona sur les surfaces non orientables. On y apprendra notamment comment un éclatement transforme la topologie d'une surface et comment on peut agir algébriquement sur le mapping class group d'une surface non orientable.
L'ambition au terme de la série d'exposés est de montrer que l'action des transformations de Cremona sur les points réels des quadriques révèle toute la complexité des difféomorphismes de la sphère, du tore et de toutes les surfaces non orientables. Le résultat principal dit que si X est rationnelle, alors Aut(X), le groupe des automorphismes algébriques, est dense dans Diff(X), le groupe des difféomorphismes de X. Ces groupes sont notamment étudiés pour leurs propriétés dynamiques.
Vendredi 17 octobre 2008 à 15h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Le nombre de Picard \rho d’une surface lisse S est le rang du groupe engendré par les diviseurs modulo équivalence numérique. Ce nombre est borné par h^{1,1}(S) ; quand \rho=h^{1,1}(S), la surface S est dite « singulière » (terminologie due à Shioda). Les exemples de surfaces « singulières » sont usuellement obtenus à partir de surfaces possédant des symétries et contenant beaucoup de courbes rationnelles (par exemple, (-2)-courbes ou bien droites dans le cas d’une hypersurface). Une surface de Fano est une surface de type général qui paramètre les droites d’un solide cubique. Dans cet exposé, on construit des surfaces de Fano « singulières » contenant beaucoup de courbes elliptiques. L’étude des courbes elliptiques d’une surface de Fano S est initialement motivée par le problème de l’amplitude du fibré cotangent de S, nous expliquerons cet aspect. Nous illustrerons cet exposé par l’exemple de la surface de Fano du solide cubique:
x_1^3+....+x_5^3=0 ,
unique surface de Fano contenant 30 courbes elliptiques.
Vendredi 17 octobre 2008 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
A une courbe irréductible dans le plan projectif, on peut associer son complément, qui est une surface affine. Si deux courbes sont projectivement équivalentes, i.e. s'il existe un automorphisme du plan qui envoie l'une sur l'autre, les complémentaires sont évidemment isomorphes. En 1984, Hisao Yoshihara conjecturait la réciproque. J'essaierai de présenter cette conjecture, ainsi que les nombreux cas où elle a été démontrée. Puis je donnerai un contre-exemple à la conjecture, à l'aide de courbes de degré 39 bien particulières.
Vendredi 10 octobre 2008 à 10h15
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Vendredi 03 octobre 2008 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Given integers m and c satisfying m-2 >= c >= 2, we explicitly construct a nonsingular m-dimensional algebraic subset of P^{m+c}(R) that is not isotopic to the set of real points of any nonsingular complex algebraic subset of P^{m+c}(C) defined over R. The first examples of this type were obtained by Akbulut and King in a more complicated and nonconstructive way, and only for certain large integers m and c.
Mardi 30 septembre 2008 à 15h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Cette série d'exposés, destinée à un large public, a pour but d'expliquer plusieurs résultats nouveaux obtenus en collaboration avec János Kollár (Princeton).
Ce premier opus sera centré sur les motivations et les résultats dont les énoncés n'appellent pas, ou peu, de technique. On m'a suggéré comme titre « Géométrie algébrique pour les nuls », mais cela m'a semblé trop ambitieux. Nous nous intéresserons aux approximations des applications continues par des applications rationnelles (penser au théorème de densité de Weierstrass sur les polynômes) de la sphère et du tore. Ensuite, nous verrons comment cette question d'approximation change radicalement quand on exige des applications continues (resp. rationnelles) de posséder une réciproque continue (resp. rationnelle).
L'ambition au terme de la série d'exposés est de montrer que l'action des transformations de Cremona sur les points réels des quadriques révèle toute la complexité des difféomorphismes de la sphère, du tore et de toutes les surfaces non orientables. Le résultat principal dit que si X est rationnelle, alors Aut(X), le groupe des automorphismes algébriques, est dense dans Diff(X), le groupe des difféomorphismes de X. Ces groupes sont notamment étudiés pour leurs propriétés dynamiques.
Vendredi 26 septembre 2008 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
La transformation de Cremona de l'espace projectif de dimension 3 la plus simple est l'involution S : (x_0 : x_1 : x_2 : x_3) -> (1/x_0 : 1/x_1 : 1/x_2 : 1/x_3) qui est un homéomorphisme en dehors du tétraèdre (x_0x_1x_2x_3 = 0). En étudiant l'action de S sur les surfaces quadriques réelles, nous avons montré que S et ses conjuguées engendrent un sous-groupe dense de Homéo(S^2), le groupe des homéomorphismes de la sphère. Dans cet exposé, nous montrerons que ce résultat de densité s'étend au cas des surfaces non orientables et en particulier comment réaliser « algébriquement » le mapping class group de ces surfaces. Enfin nous expliquerons pourquoi il ne peut y avoir de résultat similaire pour les surfaces orientables de genre supérieur à 2. (Travail en collaboration avec J. Kollár.)
Mercredi 16 juillet 2008 à 15h
Vendredi 06 juin 2008 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous présentons un théorème de transversalité dans la catégorie des stratifications régulières (C. Murolo, A. Du Plessis et D. Trotman) qui généralise et améliore un résultat de M. Goresky (1981). Nous en donnons deux démonstrations différentes en insistant sur les différences essentielles (2003, TAMS) et (2005, JLMS). Nous illustrerons par des applications à une théorie de l'homologie dont l'espace ambiant, les cycles et les cocycles sont des espaces stratifiés, introduite par Goresky (1976 thèse et 1981 TAMS) et étendue par C. Murolo (RdM 1994, T&iA 1996, thèse 97). Lors de l'exposé quelques problèmes ouverts et conjectures seront evoqués.
Vendredi 30 mai 2008 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
A geometric-combinatorial construction suggested by Gabrielov and Vorobjov (2007) allows one to approximate a set definable in an o-minimal structure, such as a real semialgebraic or sub-Pfaffian set, by an explicitly constructed monotone family of compact definable sets homotopy equivalent to the original set. This implies improved upper bounds for the Betti numbers of non-compact semialgebraic, fewnomial, and sub-Pfaffian sets.
Vendredi 23 mai 2008 à 10h15
Vendredi 16 mai 2008 à 10h15
Lundi 28 avril 2008 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Current continuation methods for finding all solutions to systems of polynomial equations first compute all complex solutions, and then sieve them to find the real solutions. This method is not optimal in that number of paths to be followed may not reflect the actual number of real solutions. This problem is particularly acute for fewnomial systems, a class of systems whose number of real solutions is typically much smaller than their number of complex solutions. Recent work has established a new bound for the number of real solutions to a system of fewnomials, by transforming the system of polynomials into an equivalent system of master functions on a hyperplane complement, called the gale dual system. Sturmfels observed that the method used to establish those bounds, the Khovanskii-Rolle Theorem, could be the basis of a continuation algorithm to compute all real solutions, which has the additional feature that the path continuation only follows real solutions. In this talk, I will sketch the main ideas in this new algorithm. This will also include a sketch of the proof of these new fewnomial bounds, and some of the continuation issues which arisen in an implementation of the algorithm. We remark that the complexity of this algorithm depends on the ambient (real dimension) and the fewnomial bound, and not on the number of complex solutions. The implementation of the algorithm is joint work with Daniel J. Bates, while the fewnomial bounds and reduction to Gale systems is work with Frédéric Bihan and Bates.
Vendredi 25 avril 2008 à 10h15
Vendredi 11 avril 2008 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On considère un type de métriques riemanniennes singulières qui apparait naturellement en théorie du contrôle : soient X et Y deux champs de vecteurs sur une variété M de dimension 2. Si X et Y forment partout une famille libre, ils définissent naturellement sur M une métrique riemannienne dont ils forment un champ de bases orthonormées. Quand X et Y ne sont plus partout linéairement indépendants, sous certaines conditions génériques de non intégrabilité de la distribution qu'ils engendrent, ils définissent sur M une métrique sous-riemannienne sur une distribution de rang non constant, qu'on peut voir comme une métrique riemannienne singulière. Ces structures font apparaître des phénomènes intéressants, en particulier pour ce qui concerne les liens entre courbure, lieu conjugué et topologie de la variété. Je présenterai, lors de cet exposé, un résultat du type ``formule de Gauss-Bonnet'' démontré par Agrachev, Boscain et Sigalotti et expliquerai les difficultés liées à sa démonstration dans le cas ou la métrique présente des singularités de type Martinet.
Vendredi 04 avril 2008 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Cet exposé fera un survol du domaine de la topologie des images, ou ``digital topology'', ainsi que quelques-unes de ses applications. L'espace image est vu comme un sous-ensemble de Z^n, une forme dans une image est un sous-ensemble de Z^n. Nous présenterons ainsi les approches graphes, cellulaires et intermédiaires. On verra qu'une des difficultés est de définir ce qu'est une surface (``discrète'' donc) dans ces espaces, afin de retrouver les propriétés classiques de l'espace euclidien. Ensuite, nous montrerons quelques algorithmes effectifs d'extraction de surfaces, avec quelques applications. Si le temps le permet, nous nous intéresserons au calcul effectif de l'homologie, afin d'obtenir des invariants topologiques sur les formes discrètes.
Vendredi 28 mars 2008 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans cet exposé, nous donnons une caractérisation très complète des courbes singulières pour une distribution D générique (la notion de généricité utilisée ici est très forte car générique signifie appartenant à un ouvert dense de l'ensemble des distributions, dont le complémentaire est de codimension arbitrairement grande). Nous établirons que, si D est générique, toute courbe singulière admet un unique relèvement extrémal par le principe du maximum de Pontryagin et que le contrôle associé à la trajectoire se calcule presque partout par feedback à partir de ce relèvement. Ceci nous permet de montrer en particulier que, si D n'est pas de dimension 2, une métrique sous-riemannienne (D,g) générique n'admet pas de trajectoire minimisante singulière, ce qui à son tour a de nombreuses conséquences sur la régularité de la distance et des sphères sous-riemanniennes.
Vendredi 21 mars 2008 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Après avoir exposé quelques motivations de ce travail dans la sphère de l'optimisation : méthodes de gradient, minimisation alternée..., nous montrerons comment les inégalités de Lojasiewicz peuvent se caractériser dans un cadre relativement général, ie celui des fonctions convexes à un carré près dans les espaces de Hilbert. On examinera en particulier les reformulations en termes de ``bornes d'erreurs'', de lipschitzianité de l'application sous-niveau, de talweg ou encore de flots de sous-gradient. Quelques résultats positifs et négatifs concernant les fonctions convexes seront évoqués.
Vendredi 14 mars 2008 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On donnera les ingredients principaux de la construction du complexe de Morse-Smale a coefficients dans Z_2.
Vendredi 07 mars 2008 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Cet exposé a pour but de nous montrer que le problème de modélisation de l’évolution cinématique d’une voiture avec n remorques étudié par F. Jean et qui est décrit par une distribution de Goursat sur l’espace de configuration R^2 \times (S1)^{n+1}, se généralise en un problème de modélisation cinématique du bras articulé de longueur n sur R^{k+1} de sorte qu’à cette modélisation est naturellement associée une distribution multi-drapeaux spéciaux. On montre une généralisation des singularités construites par F.Jean dans ce contexte en liaison avec les singularités définies par P.Mormul pour les distributions drapeaux spéciaux.
Vendredi 29 février 2008 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous définissons deux suites finies d'invariants locaux en géométrie sous-analytique réelle. L'une est l'équivalent réel des caractéristiques évanescentes de Kashiwara (dont on sait en géométrie complexe qu'elles sont des combinaisons linéaires des multiplicités des variétés polaires), l'autre la localisation des courbures de Lipschitz-Killing (et contient donc la densité locale). Nous montrons que chaque terme d'une suite est combinaison linéaire des termes de l'autre et varie continument le long des strates d'une stratification de Verdier (ou (b*)-régulière) d'un sous-analytique fermé. Il s'agit de la version réelle du théorème de Teissier/Henry-Merle selon lequel la condition de Whitney équivaut à la constance des multiplicités des variétés polaires.
Vendredi 08 février 2008 à 10h15
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Vendredi 01 février 2008 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Cet exposé a pour but de nous révéler que la géométrie de Hilbert d'un domaine polygonal convexe est Lipschitz équivalente au plan euclidien.
Vendredi 14 décembre 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
La question de l'existence de certaines surfaces quartique de P^3(R) a été posée par Hilbert dans la première partie de son 16° problème. En 1975, Kharlamov a montré l'existence de ces surfaces quartiques de P^3(R) par une méthode non constructive. En 1979, Viro a montré comment, en partant de courbes sur l'hyperboloïde, on pouvait prouver directement l'existence des surfaces quartiques P^3(R) considérées. Mais Viro ne détaille pas la construction de toutes les courbes utilisées. Dans cet exposé, on construira explicitement les courbes réelles de genre 9 avec 10 composantes connexes nécessaires et on appliquera ce résultat aux surfaces quartiques.
Vendredi 07 décembre 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans cet exposé, on présentera des bornes sur la topologie d'un hypersurface fewnomiale qui améliorent grandement celles précédemment connues. Ces nouvelles bornes utilisent celles obtenues récémment par l'orateur et Frank Sottile sur le nombre de solutions positives de systèmes fewnomiaux. On montrera aussi, si le temps le permet, comment on peut modifier légèrement la preuve de de ces dernières bornes de manière à en obtenir d'autres sur le nombre de solutions réelles, qui soient également asymptotiquement optimales.
Vendredi 30 novembre 2007 à 10h15
Vendredi 23 novembre 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Les axiomes d'o-minimalité les plus généraux ne spécifient pas qu'une structure o-minimale définit une structure de corps réel clos sur son univers. Néanmoins, le théorème de trichotomie assure qu'il est difficile de ne pas y trouver un corps: à moins qu'une structure o-minimale soit ``triviale'' ou ``localement modulaire'', un corps y est type-définissable. Dans le cas où la structure a pour univers l'ensemble des réels muni de son ordre naturel et définit le graphe de l'addition, et qu'elle est ni triviale ni localement modulaire, il se peut que la structure de corps découlant du théorème de trichotomie ne soit pas la structure naturelle de corps des réels. Nous présenterons quelques critères assurant que ce soit bien le cas.
Vendredi 16 novembre 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
D’après un théorème célèbre énoncé par Comessatti en 1914, si X est une surface géométriquement rationnelle et définie sur R, alors une composante connexe orientable S de X a son genre g(S) majoré par 1. Ce résultat reste vrai si on considère plus généralement X uniréglée. En dimension trois, le genre ne suffit plus à classifier les variétés compactes orientables et la classe des variétés uniréglées est plus vaste. Nous discuterons des généralisations possibles en dimension trois de l’énoncé de Comessatti à la lumière de plusieurs résultats récents de Kollár, Viterbo, Eliashberg, Huisman, Catanese et moi-même.
Vendredi 09 novembre 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Un résultat classique sur les structures o-minimales affirme que tout ensemble définissable est, pour tout entier $k$, une union finie de cellules de classe $C^k$. En fait, la plupart des structures o-minimales connues ont la propriété de décomposition cellulaire analytique. Dans un travail récent en commun avec Olivier Legal (Université de Rennes), nous montrons comment construire, à partir d’algèbres quasianalytiques convenables, une structure o-minimale qui n’admet pas la propriété de décomposition cellulaire $C^{\infty}$.
Vendredi 26 octobre 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
La mécanique classique nous parvient des équations différentielles sous la forme : $\frac{dX}{dt}=f(X)$, $t\in \mathbb{R}$, $X\in \mathbb R^n$. Normalement, il y a très peu choses qu’on sait dire sur la dynamique globale des solutions $X(t)$ vues comme des courbes réelles dans $\mathbb{R}^n$. L’étude s’enrichit beaucoup quand on complexifie le problème i.e considère $t\in \mathbb{C}$, $X\in \mathbb C^n$. L’approche de Ziglin (1980’s) réduit alors l’analyse des propriétés dynamiques (l’intégrabilité, la stabilité etc.) à l’étude purement algébrique des sous-groupes de $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ qui apparaissent comme des groupes de monodromie des équations aux variations autour d’une solution particulière. Dans cette exposé je présente des résultats récents dans cette direction relatives aux problèmes classiques da la mécanique : le problème des trois corps, le Rattleback et le Levitron (une toupie flottant dans le champ magnétique). Quelques démonstrations sont prévues. Références [1] A. Tsygvintsev, On some exceptional cases in the integrability of the three-body problem, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Vol. 99, No. 1, 237-247, 2007 [2] H. Dullin, A. Tsygvintsev, On the analytic non-integrability of the Rattleback problem, Annales de la faculté des sciences de Toulouse, à paraître
Vendredi 19 octobre 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On établit une formule pour la courbure de Gauss-Bonnet-Chern totale d'un ensemble semi-algébrique fermé X de R^n en fonction de sa caractéristique d'Euler-Poincaré et de son comportement à l'infini.
Vendredi 05 octobre 2007 à 10h15
Vendredi 28 septembre 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous donnons plusieurs généralisations du théorème suivant de Clarke, (sur l'inversion locale des fonctions lipschitziennes) : soit $f$ une fonction d'un ouvert de $R^n$ dans $R^n$ si l'enveloppe convexe fermée des limites (en un point $x$) des différentielles ne contient pas des matrices singulières alors $f$ est inversible au voisinage de $x$. Nos résultats concernent essentiellement le cas des fonctions définissables dans une structure o-minimale. La preuve du résultat principal utilise quelques notions d'analyse convexe. La généralisation au cas de dimension infinie reste largement ouverte.
Vendredi 21 septembre 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Soit X une surface algébrique réelle connexe compacte rationnelle non-singulière. Notons Diff_alg(X) le groupe des difféomorphismes algébriques de X dans X. Le groupe Diff_alg(X) agit diagonalement sur X^n pour tout entier naturel n. Nous montrons que cette action est transitive pour tout n. Comme application, nous donnons une nouvelle preuve plus simple du fait que deux surfaces algébriques réelles connexes compactes rationnelles non-singulières sont algébriquement difféomorphes si et seulement si elles sont homéomorphes en tant que surfaces topologiques.
Vendredi 29 juin 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous nous intéressons dans cet exposé au problème suivant : nous considérons une triangulation T_n qui converge au sens de Hausdorff et en normales vers une surface S régulière de classe C^2. Sur chaque triangulation T_n nous considérons une courbe géodésique C_n qui converge vers une courbe C de S. Il est alors naturel de se demander si C est une géodésique de S. Dans le cas où C_n est un plus court chemin, il est connu que C est aussi un plus court chemin. Nous allons montrer que ce résultat ne tient plus si l'on suppose que C_n est une géodésique sans être un plus court chemin. Cependant, en faisant des hypothèses supplémentaires sur la vitesse de convergence des normales et sur les longueurs des arêtes, il est possible de garantir que la courbe limite C est une géodésique. Ce travail peut ensuite s'appliquer à certains schémas de subdivision. Il permet ainsi de valider un algorithme existant de V. Pham-Trong et al. en 2001, qui permet de calculer des géodésiques (qui ne sont pas forcément des plus court chemins) sur une suite de surfaces de subdivision.
Vendredi 22 juin 2007 à 10h15
Vendredi 15 juin 2007 à 11h15
Vendredi 08 juin 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Comessatti a démontré qu'une surface rationnelle réelle est soit non orientable, soit difféomorphe à une sphère ou un tore. Réciproquement, si S est une surface non orientable ou difféomorphe à une sphère ou un tore, il existe une surface rationnelle réelle X difféomorphe à S. Dans cet exposé on démontre que si Y est une autre surface rationnelle réelle difféomorphe à S, alors X et Y sont biregulièrement isomorphes. Autrement dit, les surfaces non orientables, la sphère et le tore ont exactement un seul modèle algébrique rationnel réel à isomorphisme birégulier près.
Vendredi 01 juin 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On borne le nombre de points fixes d'un automorphisme d'une courbe algébrique réelle en fonction du genre de la courbe et du nombre de composantes connexes de la partie réelle de la courbe. On utilise cette borne pour calculer l'ordre maximum de certains groupes d'automorphismes de courbes algébriques réelles.
Vendredi 25 mai 2007 à 10h15
Vendredi 11 mai 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Une classe effective dans une variété symplectique de dimension quatre est une classe d'homologie de degré deux qui est réalisée par une courbe J-holomorphe (éventuellement réductible) pour toute structure presque complexe positive sur la forme symplectique. Je montrerai que les classes effectives sont orthogonales aux tores lagrangiens pour la forme d'intersection.
Vendredi 27 avril 2007 à 10h15
Vendredi 20 avril 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Soit W -> X une variété projective non singulière réelle de dimension 3 fibrée en courbes rationnelles. On suppose que W(R) est orientable. Soit M une composante connexe de W(R). D'après Kollár, M est alors essentiellement une variété de Seifert ou une somme connexe d'espaces lenticulaires. Soit n un entier définit de la façon suivante : Si g : M -> F est une fibration de Seifert, on note n le nombre de fibres multiples de g. Si M est une somme connexe d'espaces lenticulaires, on note n le nombre d'espaces lenticulaires.
Théorème
Lorsque X est une surface géometriquement rationnelle, n est majoré par 4.
Ce résultat répond par l'affirmative à une question de Kollár qui avait montré en 1999 que n était majoré par 6. On déduit ce théorème d'une analyse fine de certaines surface de Del Pezzo singulières avec singularités Du Val.
Vendredi 30 mars 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Un polytope convexe d'un espace euclidien est régulier si son groupe d'isométries agit transitivement sur l'ensemble de ses drapeaux. Depuis Schläfli (1901), on sait classifier ces polytopes réguliers. Si on suppose que le polytope est à sommets entiers, ou plus généralement sur un réseau, on peut définir les polytopes réguliers relativement au groupe préservant ce réseau (les polytopes Z-réguliers). Récemment Karpenkov a donné une classification de ces polytopes Z-réguliers utilisant la classification de Schläfli. Dans un travail en commun avec Pierre-Louis Montagard, nous retrouvons ce résultat en associant à chaque polytope Z-régulier un système de racines.
Vendredi 23 mars 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous allons discuter le problème de comptage des cycles limites pour l'équation de Liénard classique x' = y - P(x) , y' = -x , où P(x) est un polynôme en x. Une compactification convenable de l'espace de tous les systèmes de Liénard nous amène à considérer l'équation du titre.
Vendredi 02 mars 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Considérons une variété M, définissable dans une structure o- minimale A, et munie d'un champ d'hyperplans H, intégrable et définissable dans A. Nous montrons qu'il existe un recouvrement fini de M par des ouverts définissables dans A sur chacuns desquels H induit un feuilletage en hypersurfaces séparantes.
Vendredi 09 février 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On montre que les ensembles extrémaux du gradient d'une fonction générique lisse sont lisses en dehors des points critiques de la fonction. Aux points critiques, les branches lisses des ensembles extrémaux sont tangents aux espaces propres du hessien. De plus, la fonction est de Morse sur son ensemble extrémal.
Vendredi 26 janvier 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On verra comment la positivité de certains opérateurs sur une surface riemannienne permet d'obtenir des informations sur le type conforme de la surface. Ce type de résultat trouve son origine dans l'étude des surfaces minimales stables.
Vendredi 19 janvier 2007 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Travail en commun avec D. Cohen-Steiner (INRIA Sophia-Antipolis) et A. Lieutier (Dassault Systèmes). Dans cet exposé, nous aborderons la question de la ``stabilité de la topologie'' des sous-ensembles compacts de R^n par perturbation pour la distance de Hausdorff : étant donné deux compacts K et K' dont la distance de Hausdorff est petite, peut-on déduire la topologie de K de celle de K'? En toute généralité, la réponse à cette question est évidemment négative. Cependant, nous verrons que si K appartient a une large classe de compacts (contenant les sous-analytiques), on peut apporter une réponse positive à la question précédente. L'approche adoptée est basée sur quelques propriétés de la fonction distance a un compact que nous rappelerons.
Vendredi 15 décembre 2006 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous aborderons les récents développements en géométrie énumérative réelle. Combien de courbes algébriques de genre 0 passent par une collection quelconque de points dans le plan P2 ? Une approche actuelle consiste à construire des espaces de modules spécifiques et répondre à cette question par un calcul (co)homologique suivant Kontsevich (en complexe) puis Welschinger (en réel). Dans le cadre réel il est nécessaire de prendre en compte l'orientation de ces espaces et c'est ce point qui sera traité dans la détermination de certaines classes caractéristiques.
Vendredi 08 décembre 2006 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Cet exposé est une petite introduction au livre de Jean-Marie Souriau intitulé << Structure des systèmes dynamiques >> (Dunod, 1970) dans lequel l'auteur propose un nouveau cadre pour traiter de la mécanique lagrangienne, cadre malheureusement trop peu connu, même de nos jours... Cette approche a l'avantage de dépasser les divers formalismes classiquement utilisés en mécanique analytique : espace des configurations, espace des phases, équations d'Euler-Lagrange ou équations de Hamilton. En outre, alors que ces derniers points de vue ne permettent même pas de rendre compte du simple principe de relativité galiléenne et sont donc insatisfaisants, l'approche développée par Jean-Marie Souriau montre comment la géométrie symplectique est à l'oeuvre de façon unificatrice dans des branches aussi variées de la physique telles que la mécanique classique, la mécanique statistique ou encore la mécanique quantique.
Vendredi 24 novembre 2006 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On considérera la distance associée à la norme de Bombieri sur l'ensemble des polynômes homogènes réels de degré d à n variables. On montrera que si le niveau P=0 est lisse et extremal (on ne peut pas ajouter de composante à P=0 sans changer le degré) alors la distance au discriminant réel (l'ensemble des polynomes Q réels avec au moins une singularité réelle) est min{ |P(x)| ; x dans S^{n-1}, x point critique de P} On en déduira une inégalité entre la taille des composantes connexes de P=0 et la distance au discriminant.
Vendredi 17 novembre 2006 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Le nombre de courbes algébriques complexes nonsingulières de degré d passant par d(d+3)/2 - t points et tangentes à t droites est (2(d-1))^t (si la configuration est générique et t<2d-1). F. Ronga a montré que pour une droite (t=1) le problème réel correspondant était maximal: il existe une configuration générique de points réels et d'une droite réelle telle que 2(d-1) courbes de degré d passent par les points et sont tangentes a la droite. En utilisant la géométrie tropicale on montre la maximalité de ce problème énumératif réel pour deux droites (t=2).
Vendredi 10 novembre 2006 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans $R^n$, avec une distribution algébrique donnée, on définit le gradient horizontal d'un polynôme, la projection du gradient de ce polynôme sur la distribution. On va donner (si le temps le permet) - quelques propriétés de base du gradient horizontal, - des exemples montrant que + longueur de trajectoires de gradient horizontal n'est pas forcément bornée, + des trajectoires de gradient horizontal peuvent avoir de cycles limites, - sous certaines conditions de généricité, par un changement de métrique, on peut montrer que longueur de trajectoires de gradient horizontal est bornée et que les trajectoires possèdent de limites.
Vendredi 20 octobre 2006 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
L'exposé comprendra trois parties : 1) Presentation du résultat de Mikhalkin (``Real Algebaric Curves, the Moment map and Amoebas'', Ann. of Math. (2) 151 (2000)) 2) Petit état de l'Art sur les déformations (lissifications) de germes de courbes planes réelles. 3) Déformations de Harnack : définition, existence, unicité du type topologique (travail en commun avec Pedro Gonzaléz Pérez) ; quelques considérations métriques (volume de l'Amibe, taille des ovales..)
Vendredi 06 octobre 2006 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On sait bien qu'un polynome en une variable du type x^d+c avec c réel non nul possède au plus deux racines réelles non nulles alors qu'il possède d racines complexes. Plus généralement, la règle de Descartes implique qu' un polynome réel en une variable avec m+1 monomes distincts possède au plus 2m racines réelles non nulles. En particulier, si le degré d'un tel polynome est grand (par rapport à son nombre de monomes), seulement peu de ses racines complexes sont en fait réelles. En 1980 Askold Khovansky a montré qu'un tel phénomène n'était pas propre aux polynomes en une variable. Il a proposé une borne sur le nombre de solutions réelles (à coordonnées non nulles) d'un système de n équations polynomiales en n variables qui ne dépend que du nombre total de monomes distincts du système. Néanmoins, cette borne parait extremement large. Par exemple, lorsque le système est un système formé de 2 polynomes en 2 variables et avec au plus 5 monomes au total, le borne de Khovansky est 5184. Dans cette exposé, on présentera de nouvelles bornes fewnomiales obtenues très récemment avec Frank Sottile. Ces bornes améliorent considérablement celles de Khovansky. Dans notre exemple précédent, la nouvelle borne est 15. La preuve de ces nouvelles bornes est différente de celle de Khovansky (basée sur une induction sur le nombre de monomes). On se ramène à un autre système (système de Gale) en utilisant une base pour l'ensemble des relations sur les exposants du système initial. Puis, on majore le nombre de solutions réelles du nouveau système en utilisant un peu de géométrie différentielle, de la géométrie torique et de la combinatoire de polytopes.
Vendredi 22 septembre 2006 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous montrons qu'il existe un ensemble de Canotor $Csubset [0,1]$ tel que pour toute application semi-algébrique bornée $f:Uto R^k, ou $Usubset R^n$, l'image $f(Ucap C^n$ est de dimension entropique nulle. Donc en particulier $f(Ucap C^n$ est nulle part dense dans $R^k$, ceci donne la réponse positive à une question de C. Miller motivée par des extensions récentes (structures d-minimales) de la théorie de structures o-minimales. L'argument est basé sur la structure conique '' aiguë '' de $C^n$ et sur une inégalité du type de Lojasiewicz, qui permet de contrôler la norme de la différentielle de $f$ par l'inverse de la distance au bord.
Jeudi 29 juin 2006 à 14h
Mercredi 21 juin 2006 à 14h30
Vendredi 09 juin 2006 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
On étend le théorème du complémentaire de Gabrielov à certaines algèbres différentielles. Soit F une algèbre différentielle d'applications C infinies. On appelle semi-F les ensembles décrits par des égalités et inégalités portant sur des applications de F, et sous-F les projections des semi-F. On montre alors que si la structure engendrée par F est o-minimale et polynomialement bornée, alors les sous-F sont stables par passage au complémentaire.
Vendredi 19 mai 2006 à 10h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Cet expose se propose de donner un cadre tres general permettant de definir les notions de courbure d un objet geometrique. Nous rappelerons les resultats bien connus sur le volume des convexes epaissis, la formule des tubes de Weyl et nous montrerons comment la theorie du cycle normal a permis de generaliser ces resultats. Enfin, nous donnerons des applications de cette theorie, notamment en informatique graphique.
Vendredi 12 mai 2006 à 11h
Résumé : (Masquer les résumés)
The $K$-moment problem originates in Functional Analysis: for a linear functional $L$ on $R[X_1,...,X_n]$, one studies the problem of {it representing $L$ via integration}. That is, one asks whether there exists a measure $mu$ on Euclidean space $R^n$, supported by some given (basic closed semi-algebraic) subset $K$ of $R^n$, such that for every $f in R[X_1,...,X_n]$ we have $L(f) = int f dmu$. Via Haviland's Theorem, the $K$-moment problem is closely connected to the problem of {it representing positive (semi)definite polynomials on $K$}. This representation question goes back to Hilbert (Hilbert's 17th Problem and its solution by Artin and Schreier). A very general solution was given in Stengle's Positivstellensatz, which heavily relies on the use of Tarski's Transfer Principle. In his solution of the Moment Problem for compact $K$, Schm``udgen (1991) exploits this connection, and proves that a surprisingly strong version of the Positivstellensatz holds in the compact case. Schm``udgen's result provides a strong motivation to study refined versions of the Positivstellensatz. Following rapidly on his work, several generalizations of his results were worked out. In this talk, we provide a brief account of these developments, concluding with our contribution to extend Schm``udgen's Theorem to non-compact semi-algebraic sets.
Vendredi 12 mai 2006 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
I will give the valuation theoretical content of local uniformization, which is the local form of resolution of singularities (with respect to a given place of the function field). Zariski proved in 1940 that local uniformization always holds in characteristic 0. But like resolution of singularities, local uniformization is still an open problem in positive characteristic. I will show that this problem is related to the defect, a valuation theoretical phenomenon that appears only in positive characteristic. I will give examples for the defect and discuss two theorems that help to tackle the defect. These theorems lead to two important theorems about local uniformization in arbitrary characteristic: 1) it always holds for so-called Abhyankar places 2) it always holds after a finite extension of the function field (this is a local version of de Jong's result).
Vendredi 31 mars 2006 à 10h
Vendredi 24 mars 2006 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
La géométrie projective de courbes de sous-espaces de dimension n dans un space vectoriel de dimension 2n est à la fois riche et simple. On montrera que cette géométrie permet d'unifier les travaux de Grifone, Foulon, et Agrachev et al. sur les notions de courbure pour les équations différentielles du second ordre.
Vendredi 10 mars 2006 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
Let X be an algebraic manifold without compact component and let V be a compact coherent analytic hypersurface in X, with finite singular set. We prove that V is diffeotopic (in X) to an algebraic hypersurface in X if and only if the homology class represented by V is algebraic and singularities are locally analytically equivalent to Nash singularities. This allows us to construct algebraic hypersurfaces in X with prescribed Nash singularities. Joint work with Wojciech Kucharz.
Vendredi 10 février 2006 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous traduisons en theorie des semi-groupes le Calcul de Malliavin du genre de Bismut afin d'obtenir des resultats de regularite des semi-groupe. Nous traduisons notre preuve des estimations de Varadhan inferieures (obtenues anterieurement par le Calcul de Malliavin) en theorie des semi-groupes. Nous donnons une traduction en theorie des semi-groupes de l'approximation de Wong-Zakai des diffusions, ce qui nous permet d'eliminer pratiquement toute la theorie des processus stochastiques de notre resultat avec Ben Arous concernant la stricte positivite d'un noyau de la chaleur.
Jeudi 26 janvier 2006 — Vendredi 27 janvier 2006
Vendredi 20 janvier 2006 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
Let $A \subset \R^n$ be a set-germ at $0 \in \R^n$ such that $0 \in \overline{A}$. We say that $r \in S^{n-1}$ is a direction of $A$ at $0 \in \R^n$ if there is a sequence of points $\{ x_i \} \subset A \setminus \{ 0 \}$ tending to $0 \in \R^n$ such that ${x_i \over \| x_i \|} \to r$ as $i \to \infty$. Let $D(A)$ denote the set of all directions of $A$ at $0 \in \R^n$. Let $A, \ B \subset \R^n$ be subanalytic set-germs at $0 \in \R^n$ such that $0 \in \overline{A} \cap \overline{B}$. We study the problem of whether the dimension of the common direction set, $\dim (D(A) \cap D(B))$, called the {\em kissing dimension} of $A$ and $B$ at $0 \in \R^n$, is preserved by a bi-Lipschitz homeomorphism. We show that in general it is not preserved. We prove that the kissing dimension is preserved if the images of the subanalytic sets under consideration are also subanalytic. In particular, if two subanalytic set-germs are bi-Lipschitz equivalent, then their direction sets must have the same dimension.
Vendredi 16 décembre 2005 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
(Travail commun avec C. Boubel et P. Mounoud)
Nous étudions les feuilletages de dimension 1 sur les variétés compactes de dimension 3 dont l’holonomie préserve une métrique lorentzienne transverse. Sous une hypothèse de complétude, nous les classifions et nous en déduisons la classification duale pour les feuilletages de codimension 1 de type temps qui sont totalement géodésiques et géodésiquement complets. Nous donnons aussi un exemple exotique de feuilletage dans le cas non complet.
Vendredi 02 décembre 2005 à 10h
Vendredi 25 novembre 2005 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
Les surfaces elliptiques propres réelles, c’est-à-dire les surfaces dont la dimension de Kodaira est égale à 1, constituent la seule classe de surfaces algébriques réelles de type spécial dont la classification topologique n’est pas achevée.
Quand le nombre de Hodge h0,1(X) est nul, c’est-à-dire que la surface elliptique X est régulière, nous donnons une réponse complète à la question des valeurs possibles des nombres de Betti de la partie réelle, pour chaque famille complexe. En particulier, nous retrouvons les réponses bien connues à cette question dans le cas des surfaces elliptiques rationnelles et les surfaces K3 elliptiques.
Vendredi 18 novembre 2005 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
About 10 years ago, Boris Shapiro and Michael Shapiro made a remarkable conjecture about real solutions to geometric problems coming from the classical Schubert calculus. While the conjecture remains open, there is truly overwhelming computational evidence supporting it, and Eremenko and Gabrielov proved it for Grassmannians of 2-planes, where the conjecture is the appealing statement that a rational function with only real critical points must be real.
In my talk, I will introduce the Shapiro conjecture and discuss what we know about it. This includes a simple counterexample and a refinement which is supported by massive experimental evidence. This evidence includes tantalizing computations which suggest a strengthening: that a certain discriminant polynomial is a sum of squares, or more generally that it has such an algebraic certificate of positivity.
Vendredi 04 novembre 2005 à 10h
Vendredi 21 octobre 2005 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
Un ovale d’une courbe algébrique réelle plane est dit pair, s’il est contenu dans un nombre pair d’ovales de la courbe. En 1906, Virginia Ragsdale a conjecturé que pour toute courbe de degré 2k avec p ovales pair,p <= 3k(k-1)/ 2 + 1.Cette conjecture a joué un rôle très important dans le développement ultérieur de la topologie des variétes algébriques réelles.
Le premier pas dans cette histoire à été fait par Igor Petrovski qui démontra la bornep <= 7k2/4 - 9k/4 + 3/2.Mais il fallut attendre 1993, pour que le premier contre-exemple soit exhibé par Ilia Itenberg grâce à l’utilisation du patchwork combinatoire. Plus précisément, Il construisit une famille de courbe de degré 2k avecp = 81/48 k2 + O(k).Cependant, une question restait ouverte : peut on raffiner la borne de Petrovski ?
J’expliquerai en détail dans cet exposé la construction d’Itenberg. Puis, en généralisant cette construction, je construirai une famille de courbes de degré 2k avecp = 7/4 k2 + o(k2),ce qui signifie que la borne de Petrovski est asymptotiquement optimale.
Ces courbes sont obtenues en combinant trois méthodes de construction : la méthode des petites perturbations, le patchwork et les dessins d’enfants. La première était connue dès le XIXème siècle, la seconde est dûe à Viro dans les années 70 et la dernière a été introduite recemment en géométrie algébrique réelle.
Vendredi 07 octobre 2005 à 10h
Résumé : (Masquer les résumés)
On appelle circuit tout ensemble de n+2 points entiers dans Zn. Un système polynomial est supporté par un circuit si ses n équations ont pour support commun un circuit dans Zn.
On donne ici des bornes supérieures sur le nombre de solutions réelles d’un tel système en fonction du "rang modulo 2" du circuit et de la dimension de l’espace affine du sous-ensemble minimal du circuit constitué de points affinement dépendants. On montre que ces bornes sont exactes en dessinant des graphes sur la sphère de Riemann, qui sont des exemples de "Dessins d’enfants".
On obtient aussi qu’un tel système a au plus n+1 solutions positives (dont toutes les coordonnées sont strictement positives), et cette borne est exacte. Cette dernière borne n+1 améliore considérablement la borne donnée par le théorème de Khovanskii (théorie des Fewnomials).
Vendredi 13 mai 2005 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Je présenterai deux résultats concernant le contrôle d’une structure o-minimale par ses ensembles définissables de dimension deux :
- La structure engendrée par les sous-ensembles semi-algébriques de R2 élimine ses quantificateurs (théorème de Tarski-Seidenberg pour les ensembles semi-2-algébriques).
En particulier, il existe une structure o-minimale strictement plus petite que celle des semi-algébriques mais qui définit (exactement) TOUS les ensembles semi-algébriques de R2.
- Considérons une expansion (o-minimale) S du corps des réels qui admet un théorème de décomposition C^{infty}.
S’il existe un n>1 tel que tous les ensembles S-définissables sont en fait semi-algébriques alors S est la structure des semi-algébriques.
On peut ainsi "reconnaître" les structures qui définissent des ensembles non semi-algébriques dès la dimension 2.
Vendredi 29 avril 2005 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Soit $(X, omega)$ une variété symplectique de dimension quatre équipée d’une involution antisymplectique $c_X$. Le lieu fixe de $c_X$ est une surface lagrangienne lisse notée $R X$. Soit $L$ une courbe lisse de $R X$ qui réalise $0$ dans $H_1 (R X ; /2)$. Je présenterai la construction d’invariants par déformation du quadruplet $(X, omega, c_X, L)$. Ces invariants sont obtenus en comptant avec signe les courbes $J$-holomorphes réelles qui réalisent une classe d’homologie donnée, passent par un nombre adéquat de points fixés et sont tangentes à $L$. Je discuterai ensuite plusieurs applications de ces résultats.
Vendredi 15 avril 2005 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Comment caractériser les germes de fonctions indéfiniment différentiables qui sont entièrement déterminés, modulo un changement de variable lisse, par leur série de Taylor à l’origine, ou leur jet sur un fermé ? Dans le cas de germes à point critique isolé, le problème est parfaitement compris depuis les années 70 -- il s’agit en quelque sorte d’une variante "d’ordre infini" de la notion de jet suffisant (selon la terminologie de Thom) ou de détermination de germes (selon celle de Mather). Il en va autrement pour les singularités non isolées, où une caractérisation est connue seulement dans des cas très particuliers. On présentera un résultat sensiblement plus général.
Vendredi 08 avril 2005 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Les invariants de Gromov-Witten peuvent être vus géométriquement comme les nombres de certaines courbes complexes ou pseudo-holomorphes de genre donné qui représentent une classe d’homologie donnée d’une variété donnée.
On étudie la croissance des invariants de Gromov-Witten GWnD de genre zéro du plan projectif P2k éclaté en k points, où D est une classe dans le deuxième groupe d’homologie de P2k. Sous des hypothèses naturelles sur D, on obtient l’asymptotique précise de la suite log GWnD.
Vendredi 25 mars 2005 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
On s’intéresse au système dynamique suivant : Soit P un polyèdre de R3, et un point (m, heta)inpartial{P}*S2. Ce point se déplace dans le polyèdre en suivant une droite de direction heta jusqu’à rencontrer le bord où la trajectoire se réfléchit en suivant les lois de Descartes. On obtient ainsi une application de partial{P}*S2 dans lui même.
Pour étudier cette application on code les trajectoires sur un alphabet fini, on obtient alors des mots infinis dont on étudie la complexité. On présentera, au cours de l’exposé les différentes estimations que l’on peut obtenir de cette fonction.
Vendredi 18 mars 2005 à 11h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Un drapeau de Goursat est une chaîne Es < Es-1 <... < E1 < E0 = TM$ de sous-fibrés de l’espace tangent TM avec i = corang Ei et tels que les champs de vecteurs de Ei et leurs crochets de Lie engendrent Ei-1. Engel, Goursat, et Cartan ont étudié ces drapeaux et ont établi une forme normale pour eux aux points génériques de M.
Récemment, Kumpera, Ruiz, et Mormul ont découvert que les drapeaux de Goursat peuvent avoir des singularités et que leur nombre grandit exponentiellement avec le corang s.
Je donnerai les formes locales des 2-distributions vérifiant la condition de Goursat sur une variété de dimension n+2 et deux applications en dimensions 6 et 7.
Vendredi 18 mars 2005 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
On fournit une généralisation de la connexion de Levi-Civita aux lagrangiens quelconques même non homogènes.
En effet, Faddeev et Vershik ont étudié la géométrisation de la mécanique lagrangienne avec contrainte où le lagrangien est quadratique et la contrainte est linéaire, ils ont prouvé l’existence d’une connexion dont les géodésiques sont les trajectoires du système, i.e. les solutions de l’équation d’Euler-Lagrange.
On généralise ce résultat dans n’importe quel système mécanique avec contrainte, de plus on trouve que l’hamiltonien se conserve par transport parallèle.
Vendredi 11 mars 2005 à 10h30
Vendredi 04 mars 2005 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous revisitons le problème de Plateau: étant donné une courbe fermée, trouver la surface d’aire minimale ayant cette courbe comme frontière. La question que nous voulons discuter à nouveau est comment reconstruire effectivement la surface d’aire minimale connaissant la frontière.
Appuyé sur le théorème de Pierre Ossian Bonnet (1867) affirmant qu’une surface est déterminée à un déplacement euclidien près par ses premières et secondes formes fondamentales, nous renonçons à exhiber une surface minimale par ses équations paramétriques. Nous préférons découvrir dans un premier temps ses deux formes fondamentales. C’est la base de notre nouvelle méthode qui résout le problème de calcul des variations suivant :
minimiser l’aire regardée comme une fonctionnelle des deux formes fondamentales en respectant les conditions de compatibilité de Gauss-Coddazzi. Nous montrerons que les multiplicateurs de Lagrange introduits pour respecter ces contraintes satisfont une équation aux dérivées partielles conjuguée, comme lorsqu’on applique le principe de Pontriagine en commande optimale.
Références :
[1] Meusnier, Ch., Mémoire sur la courbure des surfaces, Mém. pré. sav. étrangers, Ac. sci., 10, 1785.
[2] Gauss, K. F., Disquisitiones generales circa superficies curvas, Comm. Soc. Göttingen Bd 6, 1823-1827. English translation in General Investigations of Curved Surfaces, Raven Press, New York, 1965.
[3] Darboux, G., Leçons sur la Théorie Générale des Surfaces, 4 vol., Gauthier-Villars, Paris, 1887-1896.
[4] Do Carmo, M.P., Differential Geometry of Curve and Surfaces, Prentice-Hall International, London, 1976.
[5] Vallée, C.; Fortuné, D., Compatibility equations in shell theory, International Journal of Engineering Science, Vol. 34, N° 5, pp 495-499, 1996.
[6] Fokas, A. S.; Gelfand, I. M., A unified method for solving linear and nonlinear evolution equations and an application to integrable surfaces, the Gelfand Mathematical Seminars, pp 75-92, Birkhäuser, Boston, MA, 1996.
[7] Fokas, A. S.; Gelfand, I. M., Surfaces on Lie groups, on Lie algebras, and their integrability, Comm. Math. Phys., Vol. 177, N° 1, pp 203-220, 1996.
[8] Fokas, A. S.; Gelfand, I. M.; Finkel, F.; Liu Q. M., A formula for constructing infinitely many surfaces on Lie algebras and integrable equations, Selecta Math.(N.S.), Vol. 6, N° 4, pp 347-375, 2000.
[9] Finkel, F.; Fokas, A.S., A new immersion formula for surfaces on Lie algebras and integrable equations. Bäcklund and Darboux transformations, The geometry of solitons (Halifax, NS, 1999), pp 207-216, CRM Proc. Lecture Notes, 29, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001.
Vendredi 25 février 2005 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
La méthode de Viro est à l’heure actuelle l’un des outils les plus puissants de construction de variétés algébriques réelles avec topologie prescrite.
Au cours de cet exposé, on décrira la version de la méthode de Viro pour les intersections completes et on expliquera comment le Cayley trick permet de relier cette version à la version originale pour les hypersurfaces.
Vendredi 25 février 2005 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Je parlerai des avancées récentes dans la classification topologique des variétés uniréglées réelles de dimension 3. En particulier, je donnerai la preuve de l’existence d’un modèle uniréglé pour toute somme connexe d’espaces lenticulaires. Ce résultat avait été conjecturé par J. Kollár. (Travail en collaboration avec J. Huisman).
Vendredi 11 février 2005 à 15h15
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Vendredi 11 février 2005 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Pour une courbe projective lisse complexe, le théorème de Clifford borne la dimension des systèmes linéaires spéciaux. On donne un équivalent du théorème de Clifford pour les courbes réelles. On regarde aussi les différents cas où il y a égalité dans l’inégalité de Clifford réelle.
Vendredi 28 janvier 2005 à 10h30
Vendredi 17 décembre 2004 à 10h30
Vendredi 10 décembre 2004 à 14h
Vendredi 10 décembre 2004 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Une courbe algébrique réelle est dite séparante si sa partie réelle disconnecte son lieu complexe.
On va montrer que la propriété être séparante pour une courbe algébrique réelle est en fait équivalente à la possibilité d’exhiber un morphisme de la courbe vers la droite dont les fibres au dessus des points réels sont toutes exclusivement formées de points réels.
Vendredi 19 novembre 2004
Vendredi 12 novembre 2004 à 13h30
Vendredi 12 novembre 2004 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Deja les premiers pas de la classification locale des k-drapeaux spéciaux (k >= 2) montrent que cette classification n’est pas stable par rapport à la largeur k. En longueur 3 les k-drapeaux manifestent, quelle que ce soit k, sept géometries locales.
Cependant, en longueur 4, les 2-drapeaux ont trente-et-quatre comportements locaux differents ([3]), tandis que les 3-drapeaux en ont au moins trente cinq.
On va lier le premier exemple de cette perte de stabilite avec les singularites de courbes en dimension trois, [2], et ces de courbes en dimensions superieures a trois, [1].
Cette relation emmenera vite à une question importante.
References:
[1] Arnold; Simple singularities of curves; Proc. Steklov Math. Inst. 226 (1999), 20-28.
[2] Gibson, Hobbs; Simple singularities of space curves; Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 113 (1993), 297-310.
[3] Mormul, Pelletier; Special 2-flags in lengths not exceeding four: a study in strong nilpotency of distributions (in preparation).
Vendredi 05 novembre 2004 à 13h30
Vendredi 05 novembre 2004 à 10h30
Résumé disponible sous forme de fichier PDF.
Vendredi 22 octobre 2004 à 10h30
Vendredi 15 octobre 2004 à 13h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Je m’intéresserai dans cet exposé à l’approximation des propriétés géométriques des surfaces (régulières, de classe C2) de R3 par des triangulations. Je donnerai en particulier des résultats sur l’approximation de l’aire et des normales des surfaces ainsi que sur la forme du dépliage des surfaces développables.
Je présenterai également une application en géométrie algorithmique qui concerne la triangulation de Delaunay restreinte à une surface.
Vendredi 15 octobre 2004 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
On montre dans un premier temps, qu’une surface elliptique réelle avec une section réelle se déforme en une surface elliptique réelle dont les fibres singulières sont génériques.
On utilisera ce résultat pour donner une borne supérieure pour le nombre de composantes connexes qui est optimale pour les surfaces elliptiques régulières réelles.
Vendredi 08 octobre 2004 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
We introduce m-times Peano-differentiable functions which are definable in an o-minimal structure expanding a real closed field. The aim is to give a characterization of the set of points in which these functions are not k-times continuously differentiable. We put out that these sets are all definable sets of codimension greater than or equal to 2.
Vendredi 01 octobre 2004 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Une fonction arc-analytique est une fonction analytique en restriction aux arcs analytiques. Je montrerai que pour une fonction sous-analytique continue, la notion d’arc-analyticité (en un point) est équivalente à celle d’analyticité sur un espace d’arcs plus petit : les arcs polynomiaux de degrés bornés.
Je donnerai par la suite quelques resultats reliés dans le domaine des structures o-minimales.
Vendredi 18 juin 2004 à 10h45
Vendredi 18 juin 2004 à 10h15
Vendredi 11 juin 2004 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Soit f : U -> R une fonction analytique, dont le graphe est sous-analytique global.
Dans "Control of radii of convergence and extension of subanalytic functions" (Proc. Amer. Math. Soc. 132 (2004)), E. Bierstone prouve que si U est ouvert alors $Sigma$, l’ensemble des points adhérents à U en lesquel f se prolonge en une fonction analytique, est un ensemble sous-analytique global et qu’on peut prolonger f dans un voisinage sous-analytique (global) de $overline{U} $.
Ce résultat se prouve, à l’aide du théorème d’uniformisation d’Hironaka, en utilisant l’idée de Malgrange d’étude des points graphiques: on parvient à prolonger les relation formelles obtenues en les points réguliers de l’uniformisation et même à controler les rayons de convergence de ces séries, en utilisant les résultats d’A. Mouze "Sur la composition de séries formelles à croissance contrôlée. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) 1 (2002), no. 1.".
Vendredi 30 avril 2004 à 16h
Résumé : (Masquer les résumés)
Un ensemble semi-algébrique ou sous-analytique admet une métrique par chemin qui est importante pour les applications (par exemple en robotique), mais néanmoins peu comprise. Je donnerai des résultats locaux concernant cette métrique. Notamment, j’introduirai trois espaces tangents en un point d’un ensemble sous-analytique. Le premier est l’espace tangent de Gromov-Hausdorff, le deuxième l’espace tangent par blow-ups et le troisième, le cône géodésique. Le théorème principal (obtenu avec A. Lytchak) est que ces trois espaces sont naturellement isométriques.
Jeudi 29 avril 2004 à 17h30
Vendredi 16 avril 2004 à 11h15
Résumé : (Masquer les résumés)
Les variétés bihamiltoniennes de dimension paire, i.e. munies d’un couple de tenseurs de Poisson compatibles dont le premier est de rang maximum, fournissent un cadre adapté à une caractérisation géométrique de systèmes hamiltoniens intégrables.
On généralise ici cette situation et l’on se place sur des variétés de dimensions finies quelconques sur lesquelles le premier tenseur de Poisson présente des singularités de rang et où le second a un espace caractéristique contenu dans l’espace caractéristique du premier (cadre des variétés bihamiltoniennes emboîtées).
On étudie alors certaines propriétés géométriques de telles variétés en fonction du spectre de l’opérateur de récursion lié aux deux structures.
Vendredi 02 avril 2004 à 10h30
Vendredi 12 mars 2004 à 14h
Vendredi 12 mars 2004 à 10h30
Vendredi 27 février 2004 à 11h
Vendredi 13 février 2004 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Nous prouvons que si on se fixe un entier n, la structure o-minimale engendrée par les sous-analytiques globaux d’arité n définit strictement moins d’ensembles que la structure de tous les ensembles sous-analytiques globaux. Pour se faire, nous prouvons que les fonctions analytiques restreintes de n-1 variables suffisent à décrire les ensembles sous-analytiques globaux d’arité n. Puis utilisant des argument de dénombrement et de troncation de séries formelles (semble-t-il assez généraux), nous prouvons qu’elles ne suffisent pas pour décrire certaines fonctions sous-analytiques de n variables. Ce résultat prouve, qu’en général, il faut s’attendre à une certaine transcendance de la famille des ensembles définissables d’arité n+1 par rapport à la famille des ensembles définissables d’arité n.
Vendredi 06 février 2004 à 10h30
Vendredi 30 janvier 2004 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Le théorème de Hardt assure qu’une famille semi-algébrique d’ensembles sur un corps réel clos est semi-algébriquement topologiquement triviale au dessus des éléments d’une partition. Il s’agit là de démontrer que l’on peut construire une isotopie semi-algébrique réalisant une trivialisation (générique) bilipschitz.
Vendredi 23 janvier 2004 à 10h30
Vendredi 16 janvier 2004 à 10h30
Vendredi 16 janvier 2004 à 08h45
Vendredi 09 janvier 2004 à 10h30
Vendredi 21 novembre 2003 à 14h30
Résumé : (Masquer les résumés)
On va donner une étude locale des singularités isolées d’une fonction analytique complexe définie sur un espace analytique complexe réduit équidimentionel.
On construira un polyèdre (évanescent) sur la fibre régulière ("de la fibration de Milnor") et une application de cette fibre sur la fibre singulière qui envoie le polyèdre sur le point singulier et qui est un homéomorphisme en dehors de ce polyèdre.
Vendredi 21 novembre 2003 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Un polynome P(z) a coefficients reels en 1 variable est hyperbolique si toutes ses racines sont reelles. Considerons une famille P(x,z) de polynomes hyperboliques en z avec coefficents analytiques en parametre x.
Si x est 1 parametre (cad. xin R) alors on sait d’apres Rellich 1937 (voir aussi Kato) qu’on peut choisir les racines de P analytiques en x.Mais lorsque x est a un multiparametre (cad. xin R^n, n>1) c’est ne plus vrai.
Łojasiewicz a conjecture en 1998 qu’on peut choisir les racines de P de facons lipschitzienns. Avec L. Paunescu (Sydney) nous avons trouve recement une preuve de la conjecture. On obtient comme corollaire un resultat celebre de Lidskii que la fonction spectrale sur l’espace de matrices symmetriques est lipschitzienne. Si le temps permets j’ai parlerai d’une generalization d’un autre resultat de Rellich (1937) selon lequel on peut diagonaliser analytiquement une famille analytique de matrices symetriques lorsque la famille depend d’un parametre. Il semble que dans le cas a plusieurs parametres il n’y avait pas de progres depuis (voir Kato "Perturbation theory for linear Operators"). J’expliquerai comment on peut le faire en effet dans les cas de multiparametre.
Vendredi 14 novembre 2003 à 14h30
Résumé : (Masquer les résumés)
On va donner une étude locale des singularités isolées d’une fonction analytique complexe définie sur un espace analytique complexe réduit équidimentionel.
On construira un polyèdre (évanescent) sur la fibre régulière ("de la fibration de Milnor") et une application de cette fibre sur la fibre singulière qui envoie le polyèdre sur le point singulier et qui est un homéomorphisme en dehors de ce polyèdre.
Vendredi 14 novembre 2003 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
A system of Ordinary Differential Equations on the plane is said to have a center at one of its singular points if all its trajectories around this point are closed. It is a classical problem to give explicit necessary and sufficient conditions for a system to have a center. Recently this problem has been related to some problems in analysis and algebra, in particular, to the vanishing problem of some moment-like expressions and to the composition factorization of analytic functions. We present some developments in this direction showing, in particular, how the analytic structure of the moments and the composition algebra enter directly the Algebraic Geometry of the "Center equations".
Vendredi 07 novembre 2003 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Soit f une fonction analytique réelle définie sur un espace Euclidien et supposons que f(0) = 0. Selon l’inégalité du gradient de Łojasiewicz, il existe 0 < a < 1 tel que la quantité|f(x)|^a
--------
|\nabla f(x)|
est bornée supérieurement en 0. Ce résultat a joue un rôle important dans la récente preuve de la fameuse conjecture de R. Thom et entraine des applications importantes sur la stabilité des systèmes dynamiques. Dans cet expose, je vais présenter une variante non-lisse de cette inégalité, qui est issue d’un travail en collaboration avec Jerome Bolte and Adrian Lewis.
Vendredi 24 octobre 2003 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Un polynôme P(z) a coefficients réels en 1 variable est hyperbolique si toutes ses racines sont réelles. Considérons une famille P(x,z) de polynômes hyperboliques en z avec coefficients analytiques en paramètre x.
Si x est 1 paramètre (i.e. xin R) alors on sait d’après Rellich 1937 (voir aussi Kato) qu’on peut choisir les racines de P analytiques en x.Mais lorsque x est a un multiparamètre (i.e. xin R^n, n>1) ce n’est plus vrai.
Łojasiewicz a conjecture en 1998 qu’on peut choisir les racines de P de façon lipschitzienne. Avec L. Paunescu (Sydney) nous avons trouve récemment une preuve de la conjecture. On obtient comme corollaire un résultat célèbre de Lidskii que la fonction spectrale sur l’espace de matrices symétriques est lipschitzienne. Si le temps le permet je parlerai d’une généralisation d’un autre résultat de Rellich (1937) selon lequel on peut diagonaliser analytiquement une famille analytique de matrices symétriques lorsque la famille dépend d’un paramètre. Il semble que dans le cas à plusieurs paramètres il n’y avait pas de progrès depuis (voir Kato "Perturbation theory for linear Operators"). J’expliquerai comment on peut le faire en effet dans les cas de multiparamètre.
Vendredi 17 octobre 2003 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
Après une petite discussion sur la place des variétés uniréglées dans la classification des variétés algébriques et la place des variétés de Seifert dans la classification géométrique des variétés de dimension 3, je montrerai que toute variété de Seifert orientable est difféomorphe à une composante connexe de la partie réelle d’une variété algébrique uniréglée prouvant ainsi une conjecture de Janos Kollar. (Travail en collaboration avec J. Huisman).
Vendredi 04 avril 2003 à 10h30
Vendredi 28 mars 2003 à 10h30
Vendredi 21 mars 2003 à 10h30
Vendredi 14 mars 2003 à 10h30
Mardi 11 mars 2003 à 17h
Lundi 10 mars 2003 à 16h30
Vendredi 07 mars 2003 à 10h30
Vendredi 14 février 2003 à 10h30
Vendredi 07 février 2003 à 14h
Vendredi 31 janvier 2003 à 10h30
Vendredi 24 janvier 2003 à 10h30
Jeudi 12 décembre 2002 à 10h30
Vendredi 06 décembre 2002 à 10h30
Jeudi 05 décembre 2002 à 17h
Vendredi 22 novembre 2002 à 10h30
Vendredi 15 novembre 2002 à 10h30
Vendredi 25 octobre 2002 à 10h30
Samedi 12 octobre 2002 à 10h30
Samedi 05 octobre 2002 à 10h30
Vendredi 28 juin 2002 à 10h30
Vendredi 31 mai 2002 à 10h30
Vendredi 24 mai 2002 à 09h
Mercredi 15 mai 2002 à 16h30
Vendredi 03 mai 2002 à 10h30
Vendredi 26 avril 2002 à 10h30
Vendredi 19 avril 2002 à 10h30
Vendredi 29 mars 2002 à 10h30
Vendredi 15 mars 2002 à 10h30
Vendredi 01 mars 2002 à 10h30
Vendredi 08 février 2002 à 10h30
Mercredi 16 janvier 2002 à 16h
Vendredi 23 novembre 2001 à 10h30
Vendredi 16 novembre 2001 à 14h
Vendredi 16 novembre 2001 à 10h30
Jeudi 25 octobre 2001 à 13h30
Vendredi 19 octobre 2001 à 10h30
Vendredi 12 octobre 2001 à 10h30
Vendredi 05 octobre 2001 à 16h
Vendredi 22 juin 2001 à 17h
Résumé : (Masquer les résumés)
On peut voir une variétés algébrique sur les nombre réels comme une variété complexe avec une involution anti-holomorphe. Si la variété n’a pas de points réels, cela veut dire que l’involution n’a pas de points fixes. Alors parfois on peut traduire des questions sur le groupe de Picard d’une telle variété et les formes quadratiques sur le corps de fonctions en terme de la topologie de l’espace quotient. Dans ce domaine, même pour les surfaces, il reste des questions ouvertes interessantes.
Mardi 19 juin 2001 à 11h
Vendredi 08 juin 2001 à 10h30
Vendredi 01 juin 2001 à 10h30
Vendredi 27 avril 2001 à 10h30
Vendredi 30 mars 2001 à 10h30
Vendredi 16 mars 2001 à 10h30
Jeudi 08 mars 2001 à 18h
Vendredi 02 mars 2001 à 10h30
Vendredi 23 février 2001 à 10h30
Vendredi 09 février 2001 à 10h30
Résumé : (Masquer les résumés)
On utilise le polygone de Newton relatif à un arc analytique pour etudier les courbes polaires, l’exposant de Łojasiewicz, les deformations à $mu$-constant (travail en commun avec T. C. Kuo). On construit des invariants d’équivalence lipschitzienne de germes de fonctions analytiques pour montrer qu’une telle equivalence admet des modules (travail en cours avec J.-P. Henry).
Vendredi 26 janvier 2001 à 14h
Mercredi 24 janvier 2001 à 14h
Vendredi 19 janvier 2001 à 14h
Vendredi 19 janvier 2001 à 10h30
Mercredi 17 janvier 2001 à 16h
Vendredi 12 janvier 2001 à 16h
Vendredi 12 janvier 2001 à 10h30
Vendredi 15 décembre 2000 à 10h30
Vendredi 24 novembre 2000 à 16h
Vendredi 24 novembre 2000 à 10h30
Vendredi 17 novembre 2000 à 10h30
Vendredi 10 novembre 2000 à 10h30
Vendredi 03 novembre 2000 à 10h30
Vendredi 27 octobre 2000 à 16h
Vendredi 27 octobre 2000 à 10h30
Vendredi 20 octobre 2000 à 16h
Vendredi 20 octobre 2000 à 10h30
Vendredi 13 octobre 2000 à 16h
Vendredi 13 octobre 2000 à 10h30
Vendredi 06 octobre 2000 à 10h30
Vendredi 22 septembre 2000 à 10h30
Mercredi 14 juin 2000 à 17h
Mardi 06 juin 2000 à 10h30
Vendredi 02 juin 2000 à 10h30
Mardi 04 avril 2000 à 10h30
Vendredi 31 mars 2000 à 10h30
Lundi 27 mars 2000 à 17h15
Vendredi 10 mars 2000 à 10h30
Jeudi 17 février 2000 à 10h30
Vendredi 14 janvier 2000 à 10h
Vendredi 10 décembre 1999 à 10h30
Vendredi 03 décembre 1999 à 10h30
Vendredi 12 novembre 1999 à 10h30
Vendredi 15 octobre 1999 à 10h30
Vendredi 08 octobre 1999 à 10h30
Vendredi 01 octobre 1999 à 10h30
Le séminaire de l’équipe Géométrie est sous la responsabilité de
Georges Comte.
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Par année : 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019, 2020, 2021, 2022, 2023.