The seminar of the team Géométrie is under the responsibility of Michel Raibaut.
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Year 2020

Thursday 17th December 2020 at 17h Alicia Dickenstein (Instituto de Investigaciones Matemáticas ``Luis A. Santaló'', Universidad de Buenos Aires),
Iterated sparse discriminants and singular intersections of hypersurfaces

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It is well known that two generic quadric surfaces intersect in a nonsingular quartic space curve, but when the intersection is not transverse this intersection curve may degenerate to a finite number of different possible types of singular curves. In the nice paper by Farouki et al. (1989), the authors formulate a way of computing the condition for a degenerate intersection in this case, which refines in the real case and with an algorithmic point of view a classical treatise by Bromwich (1906). Independently, Schläfli (1953) studied the degenerate intersection of two hypersurfaces described by multilinear equations. In joint work with S. di Rocco and R. Morrison, we present a general framework of iterated sparse discriminants to characterize the singular intersection of hypersurfaces with a given monomial support A, which generalizes both previous situations. We study the connection of iterated discriminants with the notion of mixed discriminant and the singularities of the sparse discriminant associated to A.

Thursday 10th December 2020 at 17h Javier Fresan (CMLS Ecole polytechnique),
Une fonction E non hypergéométrique

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Les fonctions E sont des séries entières à coefficients algébriques qui satisfont à une équation différentielle et à certaines conditions de croissance ; elles ont été introduites par Siegel dans un article révolutionnaire de 1929 avec le but de généraliser les théorèmes de transcendance pour les valeurs de la fonction exponentielle. Outre l’exponentielle, des exemples incluent les fonctions de Bessel et une riche famille de séries hypergéométriques. Siegel a posé la question : est-ce que toute fonction E peut s’écrire comme une expression polynomiale en des fonctions hypergéométriques ? Dans un travail récent, Fischler et Rivoal montrent qu’une réponse positive à cette question contredirait une forme de la conjecture de périodes de Grothendieck. Dans l'exposé je décrirai une approche inconditionnelle basée sur la théorie de Galois différentielle. Il s’agit d’un travail en commun avec Peter Jossen.

Thursday 12th November 2020 at 14h Ronan Terpereau (Institut de Mathématiques de Bourgogne),
Structures réelles sur des variétés presque homogènes

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Dans cet exposé nous allons nous intéresser aux structures réelles de certaines variétés algébriques complexes munies d'une action d'un groupe algébrique réductif : les variétés presque homogènes. Nous verrons comment déterminer si de telles structures existent et, le cas échéant, comment les décrire et les dénombrer. En particulier, nous tâcherons d'illustrer notre approche sur deux familles classiques de variétés presque homogènes : les variétés horosphériques (qui incluent les variétés toriques et les variétés de drapeaux) et les SL(2)-variétés presque homogènes de dimension 3. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Lucy Moser-Jauslin (IMB, Dijon).

Thursday 5th November 2020 at 15h Jean-Baptiste Campesato (University of Toronto),
Solutions de classe C^m d'équations semi-algébriques

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Nous nous intéressons aux deux problèmes suivants : (1) Le problème de prolongement de Whitney consistant à déterminer si une fonction g:X->R définie sur un fermé Xsubset R^n admet un prolongement de classe C^m sur R^n (2) Le problème de Brenner-Fefferman-Hochster-Kollár portant sur l'existence d'une solution G pour un système A(x)G(x)=F(x) où A est une matrice de fonctions définies sur R^n Dans un travail en collaboration avec E. Bierstone et P.D. Milman nous démontrons que si les données de ces problèmes sont semi-algébriques alors il en est de même pour leurs solutions. Néanmoins nos résultats impliquent une perte de régularité. Formellement, pour (1), nous montrons que pour X semi-algébrique, il existe r:N->N telle que si g:X->R semi-algébrique admet un prolongement de classe C^(r(m)) alors g admet un prolongement semi-algébrique de classe C^m. Concernant (2), nous montrons qu'étant donnée A semi-algébrique, il existe r:N->N telle que si F est semi-algébrique et si A(x)G(x)=F(x) admet une solution G de classe C^(r(m)), alors il existe une solution semi-algébrique de classe C^m.

Thursday 22nd October 2020 at 14h Boulos El Hilany (Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics, Linz.),
Comptage des points isolés en dehors de l'image d'une application polynomiale

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Une application polynomiale dominante du plan complexe dans lui-même donne lieu à un ensemble fini de courbes et de points isolés en dehors de son image. Z. Jelonek a fourni une borne supérieure sur le nombre de ces points isolés qui ne dépend que des degrés des polynômes de l'application, et qui est quadratique en ces degrés. J'introduirai dans cet exposé une grande famille d'applications dominantes non propres pour lesquelles cette borne supérieure dépend linéairement de degrés. J'illustrerai également une construction montrant que cette borne supérieure est asymptotiquement exacte.

Thursday 20th February 2020 at 15h30 Frédéric Mangolte (LAREMA (Angers)),
Modèles algébriques de la droite dans le plan affine réel

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On étudie la version réelle suivante d'un théorème célèbre d'Abhyankar-Moh : quelles applications rationnelles de la droite affine dans le plan affine, dont le lieu réel est un plongement fermé non singulier de R dans R^2, sont équivalentes, à difféomorphisme birationnel du plan près, au plongement trivial ? Dans ce cadre, on montre qu’il existe des plongements non équivalents. Certains d’entre eux sont détectés pas la non-négativité de la dimension de Kodaira réelle du complémentaire de leur image. Ce nouvel invariant est dérivé des propriétés topologiques de « faux plans réels » particuliers associés à ces plongements. (Travail en commun avec Adrien Dubouloz.)

Thursday 13th February 2020 at 14h Krzysztof Kurdyka (LAMA),
Separately Nash and arc-Nash functions over real closed fields

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Let $R$ be a real closed field. We prove that if $R$ is uncountable, then any separately Nash (resp. arc-Nash) function defined over $R$ is semialgebraic (resp. continuous semialgebraic). To complete the picture, we provide an example showing that the assumption on $R$ to be uncountable cannot be dropped. Moreover, even if $R$ is uncountable but non-Archimedean then the shape of the domain of a separately Nash function matters for the conclusion. For $R = R$ we prove that arc-Nash functions coincide with arc-analytic semialgebraic functions. Joint work with W. Kucharz and A. El-Siblani.

Thursday 6th February 2020 at 14h Adam Parusinski (Laboratoire JA Dieudonné (Nice)),
Zariski's dimensionality type. Case of dimensionality type two.

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In 1979 O. Zariski proposed a general theory of equisingularity for algebraic or algebroid hypersurfaces over an algebraically closed field of characteristic zero. It is based on the notion of dimensionality type that is defined recursively by considering the discriminants loci of subsequent ``generic'' projections. The singularities of dimensionality type 1 are isomorphic to the equisingular families of plane curve singularities. In this talk we consider the case of dimensionality type 2, the Zariski equisingular families of surface singularities in 3-space. Using an approach going back to Briançon and Henry, we show that in this case generic linear projections are generic in the sense of Zariski (this is still open for dimensionality type greater than 2). Over the field of complex numbers, we show that such families are bi-Lipschitz trivial, by construction of an explicit Lipschitz stratification. (Based on joint work with L. Paunescu.)

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