Le séminaire de l’équipe EDPs² est sous la responsabilité de Jimmy Garnier.
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Année 2021
Vendredi 04 juin 2021 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
In this talk I will present some of the works developed with the aim to obtain a relevant mathematical model for (mainly) the bedload sediment transport. This problem is classically approximated by the Saint-Venant-Exner system but it has some drawbacks: the mass conservation is not ensured, the gravitational effects are not originally included and the system does not have an associated energy balance. In the first part I will show how we obtained a Saint-Venant-Exner type model from a formal asymptotic derivation that resolves these inconveniences. In a second work the bedload problem is tackled with a ``classical'' bilayer shallow model that serves to any flow regime, weak or strong, with the particularity of converging to the previous SVE problem for the slow regime. This model presents also an advantage from a numerical point of view since the gravitational effects are naturally included in the system. These works have been developed in collaboration with E. Fernández-Nieto, T. Morales and C. Escalante.
Vendredi 28 mai 2021 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
L'exposé sera dédié à l'étude d'un système de particules en interaction dont la dynamique est purement stochastique (markovienne), et qui appartient à la famille des processus d'exclusion (i.e. une seule particule autorisée sur chaque site du réseau) avec contraintes cinétiques. Ces contraintes microscopiques sur la dynamique stochastique provoquent une transition de phase vers un état totalement ``absorbant'', lorsque la densité de particules atteint une certaine valeur critique. De plus, le comportement macroscopique de ce système, obtenu après une limite hydrodynamique dans une échelle de temps diffusive, est décrit par une EDP déterministe qui appartient à la famille des problèmes à frontière libre, ou problèmes de Stefan. Ce travail est en collaboration avec O. Blondel, C. Erignoux and M. Sasada et repose sur deux récentes publications.
Vendredi 21 mai 2021 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
The purpose of this paper is to investigate the stabilization of a locally coupled wave equations with non smooth localized viscoelastic damping of Kelvin-Voigt type and localized time delay. Using a general criteria of Arendt-Batty, we show the strong stability of our system in the absence of the compactness of the resolvent. Finally, using frequency domain approach combined with the multiplier method, we prove a polynomial energy decay rate of order 1/t.
Vendredi 05 mars 2021 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans les matériaux métalliques, les phénomènes plastiques s’expliquent grâce à des défauts du réseau cristallin sous-jacent : les dislocations. C’est pourquoi une approche multi-échelle nécessite de comprendre le comportement élémen- taire d’une dislocation. On peut ainsi chercher à caractériser sa forme, sa loi de mobilité, sa propension à engendrer de nouvelles dislocations... Lors de ce séminaire, nous présentons un modèle de dislocations couplant des aspects discrets et continus de la matière (généralisant l’équation classique de Peierls-Nabarro). Il décrit les dislocations en régime stationnaire (i.e. se mouvantà vitesse constante) et repose sur l’équation de Weertman : −(−∆)^(1/2)η + c ∂x η = F'(η) dans R. L’objectif est de caractériser quelques unes des propriétés mathématiques de cette équation intégrodifférentielle non-linéaire et de proposer une stratégie de résolution numérique. Nous conclurons sur une récente extension complètement dynamique de ce modèle.
Vendredi 12 février 2021 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
La simulation directe du phénomène de propagation des vagues à l'aide des équations d'Euler ou de Navier-Stokes à surface libre est complexe et coûteuse numériquement. Certains phénomène aux grandes échelles sont bien décrit par des modèles opérationnels à dimension réduite comme par exemple les équations de green-Naghdi; toutefois, ce modèle nécessite des techniques plus avancées pour imposer les conditions aux limites. Puisque les problèmes sont posés initialement dans l'espace très large, des conditions aux limites spéciales pour le traitement numérique sur un domaine d’intérêt sont nécessaires. Dans un premier temps, je présenterai des conditions aux limites transparentes dérivées pour les équations de Green-Naghdi linéarisées, et des validations numériques sont proposées. Les tests montrent que des conditions aux limites similaires peuvent s'appliquer pour la simulations d'ondes rentrantes. Dans un deuxième temps, je considérai une technique de relaxation pour un système Green-Naghdi proposé récemment, présentant l'avantage de se mettre sous forme hyperbolique. En particulier, ce formalisme nous permet d'appliquer la technique de Perfectly Matched Layers (PML) pour traiter les ondes sortantes et rentrantes. Ce travail est commun avec Pascal Noble.
Vendredi 05 février 2021 à 15h
Résumé : (Masquer les résumés)
In this talk, I'll investigate the stability of three models of systems. In the first and the second models, a Euler-Bernoulli beam and a wave equations coupled via boundary connections is considered. The localized non-smooth fractional Kelvin-Voigt damping acts through one of the two equations only, its effect is transmitted to the other equation through the coupling by boundary connections. In these two models, we reformulate the system into an augmented model and using a general criteria of Arendt-Batty, we show that the system is strongly stable. For the first model, where the dissipation acts through the wave equation, by using frequency domain approach, combined with multiplier technique we prove that the energy decays polynomially with rate t^{frac{-4}{2- α }} . For the second model, the dissipation acts through the beam equation. We prove using the same technique as for the first model combined with some interpolation inequalities and by solving ordinary differential equations of order 4, that the energy has a polynomial decay rate of type t^{frac{−2}{ 2−α}} . Finally, in the third model, we consider an Euler-Bernoulli beam with a localized non-regular fractional Kelvin-Voigt damping. We show that the energy has a polynomial decay rate of type t^{frac{−2}{1−α}} , where α ∈ (0,1).
Vendredi 05 février 2021 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
Dans cet exposé, nous présenterons plusieurs résultats concernant un problème d’optimisation en écologie spatiale et qui peut se formuler ainsi: comment, au sein d’un domaine, répartir les ressources accessibles à une population afin de garantir que cette dernière soit de taille maximale? Nous nous concentrerons sur les propriétés qualitatives de ce problème. Nous mettrons en évidence, entre autre, des propriétés de type concentration/fragmentation des ressources: vaut-il mieux répartir le plus possible les ressources ou, au contraire, les concentrer en un unique endroit? Contrairement à plusieurs critères mieux connus (comme la capacité de survie), où la concentration de ressources est toujours favorable, et ce indépendamment de la vitesse de déplacement des individus, pour la taille de la population, nous montrons que, plus cette vitesse de déplacement est faible, plus la fragmentation est un atout. La première partie de l’exposé sera essentiellement descriptive, et nous donnerons des éléments de preuve dans la seconde. Les différents travaux qui seront présentés ont été réalisés en collaboration avec G. Nadin, Y. Privat et D. Ruiz-Balet.
Vendredi 22 janvier 2021 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
First, we consider a system of two wave equations coupled by velocities in one-dimensional space with one boundary fractional damping and we prove that the energy of our system decays polynomially with different rates. Second, we investigate the stabilization of a locally coupled wave equations with only one internal viscoelastic damping of Kelvin-Voigt type and we prove that the energy of our system decays polynomially with rate 1/t. Finally, we investigate the stabilization of a locally coupled wave equations with local viscoelastic damping of past history type acting only in one equation via non smooth coefficients and we establish the exponential stability of the solution if and only if the two waves have the same speed of propagation. In case of different speed propagation, we prove that the energy of our system decays polynomially with rate 1/t.
Vendredi 15 janvier 2021 à 14h
Résumé : (Masquer les résumés)
The lake equations arise as a geophysical model for the description of shallow water. The system is introduced as a 2D model for the vertically averaged horizontal component of a 3D incompressible fluid. A lake is characterised by a 2D domain and a non-negative topography function. The 2D velocity satisfies an anelastic constraint rather than a divergence-free condition. The equations are degenerate if the topography may vanish. More precisely, velocity and vorticity are then related through degenerate elliptic problems. In this talk, we discuss the stability of the lake equations for singular geometries and degenerated topographies. Specifically, we prove stability results for two scenarios: First, motivated by natural phenomena such as flooding or erosion we consider a sequence of lakes with an island that disappears. In addition, we highlight crucial differences to the incompressible 2D Euler equations (flat topography). Second, we address the stability of the equations for a sequence of lakes for which an island appears in the limit, e.g. due to a decreasing level of water. This is joint work with C. Lacave and E. Miot.
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