The seminar of the team Géométrie is under the responsibility of Georges Comte.
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Year 2006

Friday 15th December 2006 at 10h15 Nicolas Puignau (Lyon),
Invariant de Welschinger et orientation relative

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Nous aborderons les récents développements en géométrie énumérative réelle. Combien de courbes algébriques de genre 0 passent par une collection quelconque de points dans le plan P² ? Une approche actuelle consiste à construire des espaces de modules spécifiques et répondre à cette question par un calcul (co)homologique suivant Kontsevich (en complexe) puis Welschinger (en réel). Dans le cadre réel il est nécessaire de prendre en compte l'orientation de ces espaces et c'est ce point qui sera traité dans la détermination de certaines classes caractéristiques.

Friday 8th December 2006 at 10h15 Patrick Verovic (LAMA),
Une autre approche de la mécanique lagrangienne (d'après Jean-Marie Souriau)

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Cet exposé est une petite introduction au livre de Jean-Marie Souriau intitulé << Structure des systèmes dynamiques >> (Dunod, 1970) dans lequel l'auteur propose un nouveau cadre pour traiter de la mécanique lagrangienne, cadre malheureusement trop peu connu, même de nos jours... Cette approche a l'avantage de dépasser les divers formalismes classiquement utilisés en mécanique analytique : espace des configurations, espace des phases, équations d'Euler-Lagrange ou équations de Hamilton. En outre, alors que ces derniers points de vue ne permettent même pas de rendre compte du simple principe de relativité galiléenne et sont donc insatisfaisants, l'approche développée par Jean-Marie Souriau montre comment la géométrie symplectique est à l'oeuvre de façon unificatrice dans des branches aussi variées de la physique telles que la mécanique classique, la mécanique statistique ou encore la mécanique quantique.

Friday 24th November 2006 at 10h15 C. Raffalli (LAMA),
Distance au discriminant

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On considérera la distance associée à la norme de Bombieri sur l'ensemble des polynômes homogènes réels de degré d à n variables. On montrera que si le niveau P=0 est lisse et extremal (on ne peut pas ajouter de composante à P=0 sans changer le degré) alors la distance au discriminant réel (l'ensemble des polynomes Q réels avec au moins une singularité réelle) est min{ |P(x)| ; x dans S^{n-1}, x point critique de P} On en déduira une inégalité entre la taille des composantes connexes de P=0 et la distance au discriminant.

Friday 17th November 2006 at 10h15 Benoît Bertrand (Genève),
Nombres caractéristiques de Zeuthen réels pour deux droites

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Le nombre de courbes algébriques complexes nonsingulières de degré d passant par d(d+3)/2 - t points et tangentes à t droites est (2(d-1))^t (si la configuration est générique et t<2d-1). F. Ronga a montré que pour une droite (t=1) le problème réel correspondant était maximal: il existe une configuration générique de points réels et d'une droite réelle telle que 2(d-1) courbes de degré d passent par les points et sont tangentes a la droite. En utilisant la géométrie tropicale on montre la maximalité de ce problème énumératif réel pour deux droites (t=2).

Friday 10th November 2006 at 10h15 Si Tiep Dinh (LAMA),
Gradient horizontal des polynômes

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Dans $R^n$, avec une distribution algébrique donnée, on définit le gradient horizontal d'un polynôme, la projection du gradient de ce polynôme sur la distribution. On va donner (si le temps le permet) - quelques propriétés de base du gradient horizontal, - des exemples montrant que + longueur de trajectoires de gradient horizontal n'est pas forcément bornée, + des trajectoires de gradient horizontal peuvent avoir de cycles limites, - sous certaines conditions de généricité, par un changement de métrique, on peut montrer que longueur de trajectoires de gradient horizontal est bornée et que les trajectoires possèdent de limites.

Friday 20th October 2006 at 10h15 Jean-Jacques Risler (Jussieu),
Sur les déformations de Harnack d'une branche plane

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L'exposé comprendra trois parties : 1) Presentation du résultat de Mikhalkin (``Real Algebaric Curves, the Moment map and Amoebas'', Ann. of Math. (2) 151 (2000)) 2) Petit état de l'Art sur les déformations (lissifications) de germes de courbes planes réelles. 3) Déformations de Harnack : définition, existence, unicité du type topologique (travail en commun avec Pedro Gonzaléz Pérez) ; quelques considérations métriques (volume de l'Amibe, taille des ovales..)

Friday 6th October 2006 at 10h15 Frédéric Bihan (LAMA),
Nouvelles bornes fewnomiales à partir de systèmes de Gale

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On sait bien qu'un polynome en une variable du type x^d+c avec c réel non nul possède au plus deux racines réelles non nulles alors qu'il possède d racines complexes. Plus généralement, la règle de Descartes implique qu' un polynome réel en une variable avec m+1 monomes distincts possède au plus 2m racines réelles non nulles. En particulier, si le degré d'un tel polynome est grand (par rapport à son nombre de monomes), seulement peu de ses racines complexes sont en fait réelles. En 1980 Askold Khovansky a montré qu'un tel phénomène n'était pas propre aux polynomes en une variable. Il a proposé une borne sur le nombre de solutions réelles (à coordonnées non nulles) d'un système de n équations polynomiales en n variables qui ne dépend que du nombre total de monomes distincts du système. Néanmoins, cette borne parait extremement large. Par exemple, lorsque le système est un système formé de 2 polynomes en 2 variables et avec au plus 5 monomes au total, le borne de Khovansky est 5184. Dans cette exposé, on présentera de nouvelles bornes fewnomiales obtenues très récemment avec Frank Sottile. Ces bornes améliorent considérablement celles de Khovansky. Dans notre exemple précédent, la nouvelle borne est 15. La preuve de ces nouvelles bornes est différente de celle de Khovansky (basée sur une induction sur le nombre de monomes). On se ramène à un autre système (système de Gale) en utilisant une base pour l'ensemble des relations sur les exposants du système initial. Puis, on majore le nombre de solutions réelles du nouveau système en utilisant un peu de géométrie différentielle, de la géométrie torique et de la combinatoire de polytopes.

Friday 22nd September 2006 at 10h15 Krzysztof Kurdyka (LAMA),
Un ensemble de Cantor de dimension entropique (exponentiellement) nulle (Travail en commun avec P. Speissegger)

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Nous montrons qu'il existe un ensemble de Canotor $Csubset [0,1]$ tel que pour toute application semi-algébrique bornée $f:Uto R^k, ou $Usubset R^n$, l'image $f(Ucap C^n$ est de dimension entropique nulle. Donc en particulier $f(Ucap C^n$ est nulle part dense dans $R^k$, ceci donne la réponse positive à une question de C. Miller motivée par des extensions récentes (structures d-minimales) de la théorie de structures o-minimales. L'argument est basé sur la structure conique '' aiguë '' de $C^n$ et sur une inégalité du type de Lojasiewicz, qui permet de contrôler la norme de la différentielle de $f$ par l'inverse de la distance au bord.

Thursday 29th June 2006 at 14h Frédéric Mangolte (LAMA),
Topological types of real regular jacobian elliptic surfaces

Wednesday 21st June 2006 at 14h30 Edward Bierstone (Toronto),
Fonctorialité en résolution des singularités

Friday 9th June 2006 at 10h15 Olivier Le Gal (Rennes),
Modèle complétude des structures o-minimales polynomialement bornées

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On étend le théorème du complémentaire de Gabrielov à certaines algèbres différentielles. Soit F une algèbre différentielle d'applications C infinies. On appelle semi-F les ensembles décrits par des égalités et inégalités portant sur des applications de F, et sous-F les projections des semi-F. On montre alors que si la structure engendrée par F est o-minimale et polynomialement bornée, alors les sous-F sont stables par passage au complémentaire.

Friday 19th May 2006 at 10h15 J. M. Morvan (Lyon 1),
Courbures, Cycle Normal et Applications

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Cet expose se propose de donner un cadre tres general permettant de definir les notions de courbure d un objet geometrique. Nous rappelerons les resultats bien connus sur le volume des convexes epaissis, la formule des tubes de Weyl et nous montrerons comment la theorie du cycle normal a permis de generaliser ces resultats. Enfin, nous donnerons des applications de cette theorie, notamment en informatique graphique.

Friday 12th May 2006 at 11h Salma Kuhlman (University of Saskatoon),
Polynômes Positifs : Du 17ème Problème de Hilbert au Problème des Moments

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The $K$-moment problem originates in Functional Analysis: for a linear functional $L$ on $R[X_1,...,X_n]$, one studies the problem of {it representing $L$ via integration}. That is, one asks whether there exists a measure $mu$ on Euclidean space $R^n$, supported by some given (basic closed semi-algebraic) subset $K$ of $R^n$, such that for every $f in R[X_1,...,X_n]$ we have $L(f) = int f dmu$. Via Haviland's Theorem, the $K$-moment problem is closely connected to the problem of {it representing positive (semi)definite polynomials on $K$}. This representation question goes back to Hilbert (Hilbert's 17th Problem and its solution by Artin and Schreier). A very general solution was given in Stengle's Positivstellensatz, which heavily relies on the use of Tarski's Transfer Principle. In his solution of the Moment Problem for compact $K$, Schm``udgen (1991) exploits this connection, and proves that a surprisingly strong version of the Positivstellensatz holds in the compact case. Schm``udgen's result provides a strong motivation to study refined versions of the Positivstellensatz. Following rapidly on his work, several generalizations of his results were worked out. In this talk, we provide a brief account of these developments, concluding with our contribution to extend Schm``udgen's Theorem to non-compact semi-algebraic sets.

Friday 12th May 2006 at 10h Franz-Viktor Kuhlman (University of Saskatoon),
Local uniformization in arbitrary characteristic

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I will give the valuation theoretical content of local uniformization, which is the local form of resolution of singularities (with respect to a given place of the function field). Zariski proved in 1940 that local uniformization always holds in characteristic 0. But like resolution of singularities, local uniformization is still an open problem in positive characteristic. I will show that this problem is related to the defect, a valuation theoretical phenomenon that appears only in positive characteristic. I will give examples for the defect and discuss two theorems that help to tackle the defect. These theorems lead to two important theorems about local uniformization in arbitrary characteristic: 1) it always holds for so-called Abhyankar places 2) it always holds after a finite extension of the function field (this is a local version of de Jong's result).

Friday 31st March 2006 at 10h Johannes Huisman (Brest),
Courbes hyperelliptiques réelles sans points réels et configurations de droites

Friday 24th March 2006 at 10h Juan-Carlos Alvarez-Paiva (Université Lille 1),
La géométrie des courbes en éventail et les notions de courbure pour les équations différentielles du second ordre

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La géométrie projective de courbes de sous-espaces de dimension n dans un space vectoriel de dimension 2n est à la fois riche et simple. On montrera que cette géométrie permet d'unifier les travaux de Grifone, Foulon, et Agrachev et al. sur les notions de courbure pour les équations différentielles du second ordre.

Friday 10th March 2006 at 10h K. Kurdyka (LAMA),
Algebraicity of global real analytic hypersurfaces

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Let X be an algebraic manifold without compact component and let V be a compact coherent analytic hypersurface in X, with finite singular set. We prove that V is diffeotopic (in X) to an algebraic hypersurface in X if and only if the homology class represented by V is algebraic and singularities are locally analytically equivalent to Nash singularities. This allows us to construct algebraic hypersurfaces in X with prescribed Nash singularities. Joint work with Wojciech Kucharz.

Friday 10th February 2006 at 10h Remi Leandre (Université de Bourgogne (CNRS)),
Calcul de Malliavin du genre de Bismut sans probabilités et applications.

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Nous traduisons en theorie des semi-groupes le Calcul de Malliavin du genre de Bismut afin d'obtenir des resultats de regularite des semi-groupe. Nous traduisons notre preuve des estimations de Varadhan inferieures (obtenues anterieurement par le Calcul de Malliavin) en theorie des semi-groupes. Nous donnons une traduction en theorie des semi-groupes de l'approximation de Wong-Zakai des diffusions, ce qui nous permet d'eliminer pratiquement toute la theorie des processus stochastiques de notre resultat avec Ben Arous concernant la stricte positivite d'un noyau de la chaleur.

Thursday 26th January 2006 — Friday 27 january 2006
Visite du Comité d’évaluation du CNRS

Friday 20th January 2006 at 10h Laurentiu Paunescu (University of Sydney),
The kissing dimension of subanalytic sets is preserved

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Let $A \subset \R^n$ be a set-germ at $0 \in \R^n$ such that $0 \in \overline{A}$. We say that $r \in S^{n-1}$ is a direction of $A$ at $0 \in \R^n$ if there is a sequence of points $\{ x_i \} \subset A \setminus \{ 0 \}$ tending to $0 \in \R^n$ such that ${x_i \over \| x_i \|} \to r$ as $i \to \infty$. Let $D(A)$ denote the set of all directions of $A$ at $0 \in \R^n$. Let $A, \ B \subset \R^n$ be subanalytic set-germs at $0 \in \R^n$ such that $0 \in \overline{A} \cap \overline{B}$. We study the problem of whether the dimension of the common direction set, $\dim (D(A) \cap D(B))$, called the {\em kissing dimension} of $A$ and $B$ at $0 \in \R^n$, is preserved by a bi-Lipschitz homeomorphism. We show that in general it is not preserved. We prove that the kissing dimension is preserved if the images of the subanalytic sets under consideration are also subanalytic. In particular, if two subanalytic set-germs are bi-Lipschitz equivalent, then their direction sets must have the same dimension.

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Year 2006