Activité de l'équipe EDPs²

• C. Bourdarias, M. Gisclon, S. Junca. Fractional bv spaces and first applications to scalar conservation laws. Journal of Hyperbolic Differential Equations, 11(4):655–677, 2014.

Ce papier contient des résultats nouveaux concernant les propriétés régularisantes des lois de conservation scalaires en une dimension d’espace en travaillant dans des espaces de fonctions BV-fractionnaires, notés BV s, avec 0 < s ≤ 1, que les auteur.e.s ont revisités en mettant en lumière certaines de leurs propriétés. Ces espaces sont en un certain sens proches des espaces de Sobolev critiques Ws,1/s et permettent de travailler avec des fonctions moins régulières que les fonctions à variation bornée. Ils ont notamment obtenu un résultat de stabilité dans ce cadre et obtenu l’effet régularisant Ws,p maximal conjecturé par Lions-Perthame-Tadmor pour des flux non-linéaires convexes (article publié en 2014). Ils ont ensuite, avec Y. J. Peng, dans un article publié dans Comm. Math. Sci, utilisé ces espaces, avec s ≥ 3, pour établir des résultats d’existence de solutions entropiques pour le système d’absortion isotherme d’un mélange gazeux (système PSA ) précédemment étudié sous divers aspects. Ils ont mis en évidence que l’espace BV 1/3 est critique (explosion de solutions au bord du domaine lorsque s < 1/3).

• D. Bresch, M. Hillairet. A compressible multi-fluid system with a new physical relaxation term. Annales Scientifiques ENS, (52), 255-295 (2019).

D. Bresch et M. Hillairet ont obtenu le premier résultat de dérivation d'un système de type Baer-Nunziato avec un terme de relaxation physique sans hypothèse de fermeture ad-hoc comme cela est usuellement le cas dans les livres physiques dédiés à la théorie des mélanges comme le livre d'Ishii "Thermo-fluid dynamics of two fluid flows". Ce travail a été récemment amélioré avec C. Burtea, M. Hillairet et F. Lagoutière.

• D. Bresch, M. Gisclon, I. Lacroix-Violet. On Navier-Stokes-Korteweg and Euler-Korteweg Systems: Application to quantum fluids models. Arch. Rational Mech. Anal, (2019), 233, Issue 3, 975--1025.

Dans ce travail les auteurs généralise l'entropie relative introduite dans des travaux précédents pour couvrir des viscosités et des termes dispersifs plus généraux. Ceci leur permet de montrer notamment la convergence d'une solution faible de Navier-Stokes-Korteweg compressible vers une solution dissipative d'Euler-Korteweg compressible. Les auteurs obtiennent également des résultats d'unicité fort-faible de manière beaucoup plus simple que dans des travaux de la litérature.

Modélisation et simulation numérique

1. Khakimzyanov, G. S., Dutykh, D., Fedotova, Z. I. & Mitsotakis, D. E. Dispersive shallow water wave modelling. Part I: Model derivation on a globally flat space. Commun. Comput. Phys. 23, 1–29 (2018).
2. Khakimzyanov, G. S., Dutykh, D., Gusev, O. & Shokina, N. Y. Dispersive shallow water wave modelling. Part II: Numerical modelling on a globally flat space. Commun. Comput. Phys. 23, 30–92 (2018).
3. Khakimzyanov, G. S., Dutykh, D. & Fedotova, Z. I. Dispersive shallow water wave modelling. Part III: Model derivation on a globally spherical geometry. Commun. Comput. Phys. 23, 315–360 (2018).
4. Khakimzyanov, G. S., Dutykh, D. & Gusev, O. Dispersive shallow water wave modelling. Part IV: Numerical simulation on a globally spherical geometry. Commun. Comput. Phys. 23, 361–407 (2018).

Dans cette série de quatre articles publiés dans "Communications in Computational Physics" les auteurs ont entrepris un effort de systématiser la modélisation des ondes longues de gravité dans les géométries globalement planes et globalement sphériques. Une application typique pour ce genre de modèles mathématiques c'est la propagation des ondes de tsunamis à l'échelle planétaire. Les modèles proposés tiennent compte des effets de rotation de la sphère qui est couvert par une couche mince d'un fluide parfait (la couche est mince en comparaison avec le rayon de la sphère). Aucune hypothèse simplificatrice n'est faite sur la vitesse angulaire de rotation ainsi que sur la nonlinéarité de la vague (le rapport d'amplitude de la crête sur la profondeur du liquide). Parmi les différents modèles proposés, nous avons généralisé les équations de Serre-Green-Naghdi sur le cas d'une géométrie sphérique. La dérivation utilise quelques techniques de base de la géométrie Riemanienne. Une moitié des articles est dédiée à la dérivation des modèles tandis que l'autre moitié traite de la résolution numérique des équations proposées. Les prédictions numériques sont confrontées avec des mesures réalisées lors de précédents événement des tsunamis. Le bon accord peut être constaté entre nos résultats numériques et les observations en nature.

Valeur mximale de l'élévation de la surface de l'eau au cours de l'évènement

À travers la thèse de Charles Demay, encadrée par deux membres du LAMA, Christian Bourdarias et Stéphane Gerbi, et deux chercheurs d’EDF Chatou, Benoît de Laage de Meux et Jean-Marc Hérard, Charles Demay a étudié l’entraînement de poches d’air dans des écoulements en conduites fermées. Il a tout d’abord mis au point un modéle diphasique appelé CTL (Compressible Two-Layer), à partir des équations d’Euler compressibles pour l’eau et l’air moyennées sur la section et en explicitant des termes de relaxation de pression et de vitesse. Le modèle obtenu est un modèle à 5 équations à 5 inconnues : deux vitesses, deux densités et une pression. Les propriété mathématiques, hyperbolicité inconditionnelle, existence d’entropie et positivité ont été démontrées et sont essentiellement dues à la bonne adaptation des termes de relaxation. Il a ensuite proposé une méthode de résolution semi-implicite basée sur une méthode de splitting : phénomène gravitaire lent/phénomène acoustique rapide qui permet de choisir des pas de temps larges non contraints par les ondes rapides. De nombreuses simulations ont été implantées et une validation numérique d’essais effectués en laboratoire a permis de valider le modèle théorique et le code.

• C. Demay, C. Bourdarias, B. de Laage de Meux, S. Gerbi, J.-M. Hérard A splitting method adapted to the simulation of mixed flows in pipes with a compressible two-layer model, ESAIM: M2AN, Mathematical Modelling and Numerical Analysis, Volume 53, No 2, 2019, pp. 405-442.
• C. Demay, C. Bourdarias, B. de Laage de Meux, S. Gerbi, J.-M. Hérard Numerical simulation of a compressible two-layer model: A first attempt with an implicit-explicit splitting scheme, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 346, 2019, pp. 357–377.
• C. Demay, J.-M. Hérard, "A compressible two-layer model for transient gas–liquid flows in pipes", Continuum Mechanics and Thermodynamics, Volume 29, Issue 2, 2017, pp. 385–410.

Cas test issu de F. Aureli, A. Dazzi, A. Maranzoni, and P. Mignosa, "Validation of single- and two-equation models for transient mixed flows:
a laboratory test case" Journal of Hydraulic Research, 53(4):440–451, 2015.

Contrôle des EDPs

• Stabilité et contrôlabilité de quelques systèmes localement couplés

La thèse de Chiraz Kassem, encadrée par K. Ammari (Université de Monastir, Tunisie), S. Gerbi et A. Wehbe (Université Libanaise de Beyrouth, Liban) est consacrée à l’étude de la stabilité et de la contrôlabilité de quelques systèmes localement couplés. D’abord, nous avons étudié la stabilisation d’un système de deux équations d’ondes couplées par les termes des vitesses avec un seul amortissement localisé et sous des conditions géométriques appropriées. Pour le cas où les ondes se propagent à la même vitesse, nous avons établi un taux de décroissance exponentielle de l’énergie. Cependant, dans le cas physique naturel où les ondes ne se propagent pas à la m^meme vitesse, nous avons montré que notre système n’est pas uniformément stable et nous avons établi le taux de décroissance polynomial optimal de l’énergie. Ce résultat généralise un résultat de F. Alabau. Nous avons aussi traité la a contrôlabilité exacte d’un système des équations d’ondes localement couplées. Plus précisément, nous avons fourni une analyse complète de la stabilité exponentielle du système dans deux espaces d’Hilbert différents et sous des conditions géométriques convenables. Ensuite, en utilisant la méthode HUM, nous avons prouvé que le système est exactement contrôlable. Les résultats ont été obtenus en utilisant la méthode fréquentielle. Nous avons aussi effectué des études numériques pour valider nos résultats théoriques obtenus.

• C. Kassem, A. Mortada, L. Toufayli and A. Wehbe, "Local indirect stabilization of N–d system of two coupled wave equations under geometric conditions", Comptes Rendus Mathematiques de l'Académie des Sciences, Volume 357, Issue 6, 2019, pp. 494-512.
• S. Gerbi, C. Kassem, A. Mortada and A. Wehbe, "Locally internal exact controllability and stabilization of coupled wave equations", Soumis.

Stabilité exponentielle dans le cas de vitesse de propagation identique et polynomiale sinon



• Contrôle de l'équation des ondes avec des conditions aux limites dynamiques et un terme de retard

Avec Kaïs Ammari (Université de Monastir, Tunisie), Stéphane Gerbi a étudié la stabilisation interne et frontière d'une équation des ondes avec des conditions aux limites dynamiques et un contrôle frontière ou interne faisant intervenir un temps de retard. Nous avons établi une décroissance polynomiale lorsque le terme de dissipation est d'ordre 1 (u_t) alors que lorsque le terme de dissipation est d'ordre 2 du type Kelvin-Voigt, nous obtenons une décroissance exponentielle. Les résultats ont été obtenus en utilisant la méthode fréquentielle. Nous avons aussi effectué des études numériques pour valider nos résultats théoriques obtenus. Les résultats numériques permettent de penser qu'en dimension 1, la décroissance est toujours exponentielle.

• K. Ammari and S. Gerbi, "Interior feedback stabilization of wave equations with dynamic boundary delay", ZAA-Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen, Volume 36, Issue 3, 2017, pp. 297–327.

Stabilité exponentielle pour une dissipation de Kelvin-Voigt et un temps de retard de 2 s.

Analyse stochastique et probabilités

• Approximation des EDSR par marche aléatoire (travaux en collaboration avec Philippe Briand Christel Geiss, Stefan Geiss et Antti Luoto, de l’université de Jyväskylä, Finlande)

  Nous avons étudié l'étude de la vitesse de convergence de l'erreur forte et faible du schéma d'approximation des EDSR basé sur la marche aléatoire, introduit par Briand, Delyon et Mémin dans les années 2000. Cela a donné lieu a trois publications. La première (voir [1]), en collaboration avec Christel Geiss et Antti Luoto, traite de l’erreur forte et du cas où la condition terminale de l'EDSR est Hölder continue. La seconde (voir [2]), toujours en collaboration avec Christel Geiss et Antti Luoto, traite de l’erreur forte et du cas des EDSR forward-backward (i.e. que la condition terminale de l'EDSR et le driver sont fonctions d'un processus progressif) sous des hypothèses plus fortes sur le driver et la condition terminale. La troisième (voir [3]), en collaboration avec Philippe Briand, Christel Geiss et Stefan Geiss présente un résultat de type Donsker pour la convergence des EDSR standard.

• Méthodes numériques pour les EDSR de type McKean-Vlasov (travaux en collaboration avec Céline Acary-Robert, Philippe Briand et Abir Ghannoum)

  Le premier schéma numérique d’approximation des EDSR de type McKean-Vlasov que nous avons proposé (voir [6]) est basé sur l’utilisation de la méthode de décomposition en chaos de Wiener. Il généralise la méthode proposée dans [4] (et étendue dans [5] au cas des EDSR à sauts) au cas des EDSR dont le driver dépend de la loi de la solution. Le second schéma, qui concerne les EDSR McKean-Vlasov markoviennes, est basé sur la marche aléatoire. Philippe Briand, Abir Ghannoum et Céline Labart étendent les résultats de [3] donnant l’erreur faible du schéma dans le cas d’EDSR classiques.

• EDS réfléchies en loi avec et sans sauts : approche théorique et numérique (travaux en collaboration avec Philippe Briand, Paul-Eric Chaudru de Raynal, Abir Ghannoum et Arnaud Guillin)

  Les EDS réfléchies en loi ont été introduites récemment par Briand, Elie et Hu. Dans l'article [7] Philippe Briand, Paul-Eric Chaudru de Raynal, Arnaud Guillin et Céline Labart proposent une méthode de simulation de ce type d'EDS à l'aide d'un système de particules. La généralisation de ce type d'EDS en présence de sauts a été faite récemment par Philippe Briand, Abir Ghannoum et Céline Labart. Dans l’article [8], ils prouvent l’existence et l’unicité de ce type d’EDS réfléchies à sauts et étudions la convergence du schéma numérique basé sur un système de particules.

• Simulation en temps discret d’approximation d’EDSR doublement réfléchies à sauts (travail en collaboration avec Roxana Dumitrescu)

  Dans un premier article [9], Roxana Dumitrescu et Céline Labart ont étudié un schéma est basé sur une méthode de pénalisation pour la simulation d’EDSR doublement réfléchies à sauts, alors que dans le second article [10], un schéma réfléchi qui s'affranchit de la pénalisation est proposé.

Calcul des variations et études spectrales

• D. Bucur and A. Henrot, Maximization of the second non-trivial Neumann eigenvalue, Acta Math. 222 (2019), no. 2, 337–361
  

  Abstract: In this paper we prove that the second (non-trivial) Neumann eigenvalue of the Laplace operator on smooth domains of R^N with prescribed measure m attains its maximum on the union of two disjoint balls of measure m/2. As a consequence, the Polya conjecture for the Neumann eigenvalues holds for the second eigenvalue and for arbitrary domains. We moreover prove that a relaxed form of the same inequality holds in the context of non-smooth domains and densities.

• D. Bucur and I. Fragalà, Proof of the honeycomb asymptotics for optimal Cheeger clusters, Advances in Mathematics 350 (2019), 97–129
  

  Abstract: We prove that, in the limit as k → +∞, the hexagonal honeycomb solves the optimal partition problem in which the criterion is minimizing the largest among the Cheeger constants of k mutually disjoint cells in a planar domain. As a by-product, the same result holds true when the Cheeger constant is replaced by the first Robin eigenvalue of the Laplacian.

• D. Bucur, B. Bogosel and A. Giacomini, Optimal shapes maximizing the Steklov eigenvalues, SIAM J. Math. Analysis 49 (2017), no. 2, 1645-1680
  

  Abstract: In this paper we consider the problem of maximizing the k-th Steklov eigenvalue of the Laplacian (or a more general spectral functional), among all sets of $R^d$ of prescribed volume. We prove existence of an optimal set and get some qualitative properties of the solutions in a relaxed setting. In particular, in R², we prove that the optimal set consists in the union of at most k disjoint Jordan domains with finite perimeter. A key point of our analysis is played by an isodiametric control of the Stelkov spectrum. We also perform some numerical experiments and exhibit the optimal shapes maximizing the k-th eigenvalues under area constraint in R², for k = 1,...,10.

• D. Bucur and A. Giacomini, Faber-Krahn inequalities for the Robin-Laplacian: a free discontinuity approach, Arch. Ration. Mech. Anal. 218 (2015), no. 2, 757–824
  

  Abstract: Isoperimetric inequalities for the principal eigenvalues of the Robin-Laplacian are interpreted as free discontinuity problems (of unusual type). We prove a full range of Faber- Krahn inequalities in a nonlinear setting and for non smooth domains, including the open case of the torsional rigidity. The key point of the analysis relies on regularity issues for free discontinuity problems in spaces of functions of bounded variation. As a byproduct, we obtain the best constants for a class of Poincaré inequalities with trace terms in R^N

Packing optimal

Interactions avec d'autres disciplines

• P. Sollich, J. Olivier, D. Bresch. Aging and linear response in the Hébraud-Lequeux model for amorphous rheology. Phys. Rev. A 50(16) 2016.

Dans ce papier, les auteurs analysent la dynamique de vieillissement pour le modèle d'hébraud-lequeux qui concerne les matériaux vitreux mous. Cette analyse est basée sur une étude multi-échelles avec des couches limites en temps inspirée du travail théorique qui avait été réalisé par J. Olivier et M. Renardy quelques années auparavant.

• D. Bresch, N. Cellier, F. Couderc, M. Gisclon, P. Noble, G. Richard, C. Ruyer-Quil, J.P. Vila. Augmented skew-symmetric system for shallow-water system with surface tension allowing large gradient of density. Arxiv:1911.12217

Dans ce papier, les auteur.e.s introduisent une nouvelle version augmentée des équations de Saint-Venant avec tension de surface qui est antisymétrique pour la norme L2 et permet de fort gradient en hauteur de fluide. Cette formulation augmentée permet alors de proposer un schéma numérique stable et de montrer les différences qu'il peut apparaître lors de forts gradients de hauteur avec une terme de tension de surface linéarité ou non.

• S. Jenouvrier, J. Garnier, F. Patout et L. Desvillettes. Influence of dispersal processes on the global dynamics of emperor penguin, a species threatened by climate change. Biol. Conserv., 212:63–73, 2017.

Dans ce papier, les auteur.e.s ont étudié l’effet de la dispersion sur des espèces menacées par un changement environnemental. Leur cas d’étude a été le Manchot Empereur (Aptenodytes forsteri), une espèce emblématique de l’antarctique et menacée par les variations de glaces. Ils ont montré que la dispersion n’est pas toujours bénéfique à la survie de l’espèce en milieu très hétérogène. De plus ils ont pu quantifier les seuils pour lesquels cette dispersion est favorable, neutre ou défavorable. Enfin, leur modèle leur a permis de faire des projections du nombre d’individus à l’horizon 2100 à l’échelle continentale et régionale pour le Manchot Empereur.

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• J. Garnier, M. Lewis. Expansion under climate change : The genetic consequences. Bull. Math. Biol., 78(11):2165–2185, 2016.

Dans ce travail, les auteurs étudient les conséquences génétiques du déplacement d’espèces induit par un changement climatique. Grâce à l’analyse mathématique de la dynamique interne de fronts de propagation, ils ont pu quantifier les pertes de diversité génétique induites par un changement d’environnement. Ces résultats quantitatifs permettent de prédire concrètement pour chaque espèce l’impact d’un changement climatique.