ÉCOLE D'ÉTÉ EN GÉOMÉTRIE

DU 15 AU 22 JUIN 2000

CAMPUS SCIENTIFIQUE DE L'UNIVERSITÉ DE SAVOIE, LE BOURGET-DU-LAC, FRANCE

Systèmes dynamiques en géométrie






Organisation : G. Besson (Grenoble), O. Burlet (Lausanne), P. Buser (EPFL), B. Colbois (Univ. Savoie), P. Verovic (Univ. Savoie).

Contacts : B. Colbois ou P. Verovic.






Cette école s'articulera autour des trois mini-cours suivants de six heures chacun :

F. Dal'bo (Rennes) - Étude des flots géodésique et horocyclique sur les surfaces hyperboliques.

A. Fathi (ENS Lyon) - Théorie d'Aubry-Mather et théorème KAM faible en dynamique lagrangienne.

G. Paternain (Montevideo, Uruguay) - The minimal entropy problem for geodesic flows on simply connected manifolds.


Les cours auront lieu le matin. L'après-midi sera consacré à du travail en petits groupes, à des discussions et, le cas échéant, à des compléments d'informations de la part des conférenciers.

Cette école s'adresse en première ligne aux étudiants en DEA ou en thèse ainsi qu'aux jeunes chercheurs, mais - dans la mesure des places disponibles - les mathématiciens plus confirmés seront les bienvenus.

Le nombre de participants est limité à 35.

Les participants seront logés dans des chambres d'étudiants sur le campus du Bourget-du-Lac. Une contribution de 300FF (75FS) leur sera demandée, comprenant la pension complète. En principe, les voyages sont à la charge des participants ou de leurs laboratoires.

Les chambres d'étudiants offrent un minimum de confort, et il nous est possible de loger à l'hôtel ceux qui en feront la demande, la différence de prix étant à leur charge.

Des informations sur le site du Bourget-du-Lac sont disponibles sur le serveur du Laboratoire de mathématiques (Lama) de l'université de Savoie (rubrique " Pour nous rendre visite ").
 

Date limite d'inscription : 1er mai 2000.

Toute personne intéressée par l'école d'été est invitée à envoyer un e-mail à P. Verovic en y indiquant ses nom, prénom, âge, nationalité et coordonnées professionnelles (adresse postale, e-mail et fax). En outre, il est demandé à la personne de bien préciser si elle souhaite que son séjour soit pris en charge (moins un forfait de 300FF ou 75FS) ou si elle préfère être logé(e) à l'hôtel (sachant toutefois que la différence de prix est à la charge des participants).

Consultation de la liste des participants


- Description des cours -

F. Dal'bo :
Le but de ce mini-cours est de démontrer à l'aide du birapport des résultats portant sur la dynamique des flots géosésique et horocyclique sur le fibré unitaire des surfaces hyperboliques. Aussi, la plupart de ces résultats sont valables dans le cadre plus général des variétés de Hadamard.
On notera H le demi-plan de Poincaré et, pour une isométrie g de H, on désignera par l(g) l'infimum sur les x dans H de d(x,g(x)).

Partie 1 - Géométrie du bord de H : Fonction de Busemann. Distances conformes sur le bord. Birapport. Lien entre l(g) et le birapport.
Partie 2 - Spectre des longueurs d'un groupe d'isométries G : Le spectre de G est déterminé par le birapport des points de son ensemnble limite.
Le spectre n'engendre pas un groupe discret. Rigidité du spectre marqué (extension aux espaces symétriques).
Partie 3 - Flot horocyclique : Interprétation du flot horocyclique sur U(H/G) en termes d'action linéaire de G sur R2. Analyse des orbites de ce flot.
Caractérisation de la finitude du type de G en fonction des orbites du flot horocyclique.
Partie 4 - Flot géodésique sur U(H/G) : Mélange topologique. Construction d'une mesure invariante par le flot. Ergodicité pour les surfaces finies.
Partie 5 - Géométrie sur le produit HxH.

Bibliographie :
Beardon - Hyperbolic geometry
S. Katok - Fuschian groups, Chicago Press
P. J. Nicholls - The ergodic theory of discrete groups, Cambridge University Press, 1989
Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces, Oxford University Press, 1991
 

G. Paternain :
Partie 1 : The geodesic flow of a Riemannian manifold. Overview. Goals of the mini-course.
Partie 2 : Geodesic arcs and topological entropy.
Partie 3 : Mañe's formula for topological entropy and pressure.
Partie 4 : Rationally elliptic and rationally hyperbolic manifolds. Gromov's theorem and Morse theory.
Partie 5 : The minimal entropy problem and its relations with the minimal volume and simplicial volume.
Partie 6 : The minimal entropy problem for simply connected manifolds of dimensions four and five.

Bibliographie :
G. Paternain - Geodesic flows, Progress in Mathematics, Birkhäuser 180, 1999
 

A. Fathi :
Dans ce cours, nous nous proposons d'étudier certains ensembles invariants par des flots lagrangiens.
Les flots lagrangiens généralisent les flots géodésiques de la géométrie riemannienne. Ils proviennent de problèmes variationnels où la métrique riemannienne est remplacée
par un lagrangien plus général, c'est-à-dire par une fonction à valeurs réelles définie sur le fibré tangent de la variété. Toutefois, afin de pouvoir appliquer les méthodes directes
du Calcul des Variations, il faut supposer que le lagrangien est strictement convexe dans les fibres et qu'il croît suffisamment vite à l'infini (superlinéarité).

Nous commencerons par une introduction assez longue au Cacul des Variations (3 à 4 séances) et aborderons ensuite la construction
des ensembles invariants à partir de solutions faibles de l'équation de Hamilton-Jacobi (2 à 3 séances).

Nous supposerons connus :
 
    - la notion de variété;

    - le cacul différentiel sur les variétés (y compris les formes différentielles);

    - la théorie élémentaire de la géométrie riemannienne, i.e. les notions de métrique, de géodésiques et distance associées,
    ainsi que d'application exponentielle;

    - les notions élémentaires des systèmes dynamiques concernant les mesures invariantes, le théorème de récurrence de Poincaré et
la construction de mesures invariantes par moyennes de Birkhoff.
 
Les principaux thèmes abordés sont :

    - Introduction au Calcul des Variations : équation d'Euler-Lagrange, condition de régularité des extrémales, définition du flot d'Euler-Lagrange.

    - Aspects symplectiques : définition du hamiltonien, introduction à la méthode de Hamilton-Jacobi.

    - Existence d'extrémales minimisantes : méthode directe, théorie de Tonelli.

    - Solutions faibles de l'équation d'Hamilton-Jacobi : semi-groupe de Lax-Oleinik.

    - Régularité de solutions faibles : ensembles d'Aubry et de Mather.

    - La dynamique sur l'ensemble de Mañe.

Des notes seront distribuées.


- Programme provisoire -

Jeudi 15 juin 2000 : accueil des participants entre 11h00 et 14h00, salle des séminaires, bâtiment Le Chablais, premier étage (voir plan du site sur la page Web du Lama).

Début de l'école d'été : 14h30.

Cliquer ici pour le programme détailé.


- Que faut-il prendre avec soi ? -

Une excursion à pied étant prévue pour les personnes le désirant, il est recommandé d'avoir de bonnes chaussures de marche.
Maillot de bains pour ceux qui voudront se baigner au lac du Bourget.
Possibilité de faire du sport sur le site du campus (basket, volley, football, course à pied).


- Disponibilités dans les chambres -

Mininum de confort : lit, table de travail, douche et lavabo. Toilettes à l'étage.
Cuisine à disposition à l'étage.
Pas de téléphone dans les chambres mais des cabines à proximité.
Possibilité d'être joint en cas d'urgence en téléphonant à la réception du CLOUS.


- Disponibilités sur le site -

Accès à des ordinateurs en libre service aux heures ouvrables.
Une poste et une agence de voyage.
Pas de magasins sur le campus même, mais au village du Bourget-du-Lac à environ 500 m.


- Pour ceux qui désirent faire du tourisme -

Site de l'office du tourisme de Chambéry.

Site de l'office du tourisme d'Aix-les-Bains.


- Pour ceux qui désirent faire plus de mathématiques -

Workshop Groupes et Langages du 24 au 27 juin 2000 à Neuchâtel.

Colloque international Poisson 2000 du 26 au 30 juin 2000 au CIRM de Luminy.

Troisième Atelier Mathématique du 26 au 29 juin 2000 sur l'île de Berder (golfe du Morbihan) organisé par l'université de Bretagne-Sud (Vannes) autour des thèmes suivants :
homéomorphismes des surfaces, germes d'homéomorphismes, points hétéroclines, mouvement brownien en courbure négative, flot géodésique, feuilletage stable.


Pour tous renseignements complémentaires, s'adresser à B. Colbois ou P. Verovic.


Dernière mise à jour : 10 mai 2000