Thèmes de Recherche

En collaboration avec Denis Serre, j'ai considéré les conditions aux limites "résiduelles " fournies par un schéma numérique, c'est-à-dire nous avons étudié ce que devient la condition aux limites posée pour un schéma numérique lorsque le pas d'espace tend vers zéro. A l'aide d'estimations sur les entropies, nous avons démontré, sous certaines hypothèses, la convergence de la solution du schéma de Godunov adapté au cas d'un domaine x>0 vers la solution d'un système hyperbolique mixte sur un intervalle de temps fini, antérieur à la formation des chocs. Ce travail  a été accepté à Modélisation Mathématique et Numérique.

      J'ai effectué un travail en commun avec Thierry Colin sur un problème mixte avec l'équation de Korteweg-de Vries. Nous avons étudié un problème de Cauchy et aux limites pour l'équation de Korteweg-de Vries en dimension un d'espace, obtenu des effets régularisants globaux uniformes par rapport  à la longueur de l'intervalle et montré que la solution du problème aux limites converge, lorsque la longueur de l'intervalle tend vers l'infini, vers la solution du problème posé sur le quart de plan t>0, x>0. Nous avons aussi proposé, un schéma aux différences finies très simple pour le problème sur (0,1) et montré sa stabilité.
 

   B. Perthame et E. Tadmor ont montré au début des années 1990 qu'il est possible d'interpréter une loi de conservation scalaire multidimensionnelle comme limite fluide d'une famille d'équations cinétiques non linéaires, le paramètre microscopique étant l'analogue d'un  libre parcours moyen. J. P. Vila, A. Nouri et A. Omrane ont étendu ce résulat au cas d'un demi-espace : ils ont pu ainsi retrouver la condition de Bardos-Leoux-Nédélec sur les conditions de bord admissibles pour une loi de conservation scalaire.
Un travail en collaboration avec Christian Bourdarias et A. Omrane (Université des Antilles-Guyanes)  traite le problème de conditions aux limites de transmission pour le problème cinétique avec des paramètres microscopiques disctincts (cas de deux demi-espaces) et le passage à la limite fluide dans l'un des demi-espaces ou dans les deux (avec des paramètres de rapports bornés).
 

      La modélisation d'une phase du cycle d'adsorption d'un méange gazeux à température constante, appelé cycle P.S.A. (Pressure Swing Adsorption), conduit à l'écriture d'un système non linéaire d'équations de type transport.  Ces équations présentent des analogies avec les lois de conservation scalaires mais elles s'en distinguent par le type de liaison entre la vitesse et la solution.  Parmi les problèmes relatifs aux processus d'adsorption des gaz, outre le problème non-isotherme, le cas de l'adsorption avec équilibre instantané entre les phases gazeuse et solide présente un intéret dans la mesure où il généralise les équations de la chromatographie (dans lesquelles la vitesse du fluide vecteur est constante).  Il conduit (formellement) à écrire un système hyperbolique intégro-différentiel issu donc du génie chimique dont l'étude est totalement ouverte.
Un cas particulier de 2 composantes dont l'un, inerte, sert de fluide vecteur avec Christian  Bourdarias et Stéphane Junca (Universite de Nice) a donné lieu a un papier en 2005 dans Journal of mathematical analysis and applications et un article plus général "Existence of weak entropy solutions for gas chromatography system with one or two active species and non convex isotherms" a été accepté dans Communications in Mathematical Sciences (CMS, Vol 5, No. 1, mars 2007). Nous travaillons actuellement sur une approche nouvelle qui offre des résultats et des perspectives riches : relaxation, oscillations, modele cinétique... Un article a été accepté: ''hyperbolic models in gas solid chromatography'' dans Boletin de la Sociedad Espanola de Mathematica Applicada et deux autres sont en préparation ''kinetic formulation of a hyperbolic system arising in gas chromatography'' et ''Propagations and cancellations of high oscillations for a hyperbolic system arising in gas chromatography''

 
Avec B. Bidegaray (LJK Grenoble), F. Castella (IRMAR, Rennes) et E. Dumas (Institut Fourier, Grenoble) nous avons regardé l'aymptotique de modeles quantiques sur le modele de Schrodinger-Bloch, traité le probleme de Cauchy local et global dans le cas adiabatique ainsi que la convergence vers les équations de taux.

 
Un travail de recherche avec Christian Bourdarias et S. Gerbi a été effectué sur les formulations cinétique et numérique pour des écoulements mixtes a surface libre et en charge dans un canal de forme quelconque avec une prise en compte du terme source lié a la pente. En effet, une approche cinétique des équations de Saint Venant modélisant les écoulements 1D a surface libre en canal rectangulaire a été proposé par B. Perthame et C. Simeoni. Ces auteurs proposent alors un schéma cinétique intégrant le terme de pente dans le flux et respectant l'état au repos. Suivant cette meme approche nous avons envisagé le cas d'un canal de forme quelconque puis nous avons construit un modele cinétique analogue pour les écoulements en charge et en avons presenté quelques propriétés. Cette modélisation permet de batir un schéma numérique possédant des propriétés théoriques intéressantes en particulier satisfaisant des inégalites d'entropies. L'enjeu est de traiter par cette méthode les écoulements "mixtes" en conduite fermée (i.e. tantot en charge et tantot a surface libre) en prenant en compte dans le schéma les discontinuités du gradient de pression a chaque passage d'un type d'écoulement a l'autre. En second lieu, nous projetons d'aborder les problemes délicats de l'entrainement d'air.
 
Avec D. Bresch et C.K. Lin, travail accepté dans M2AN nous avons donné un exemple de limite faible nombre de Mach (Froude) d'écoulements compressibles quand la densité initiale (hauteur) est pratiquement égale a une fonction connue dépendant de la variable d'espace x. On établit alors mathématiquement le lien entre des equations de type Saint-Venant visqueuses et des équations visqueuses utilisées pour simuler l'écoulement dans les grands lacs. Plus précisément, on justifie cette asymptotique avec des données bien préparées dans un domaine periodique en observant l'influence de la variabilité du fond b. On suppose le fond b strictement positif. Ce résultat concerne les solutions faibles des équations de Saint-Venant visqueuses. Il faut donc faire attention la possible dégénérescence de la hauteur h. Dans une deuxieme partie, on discute rapidement de la limite faible nombre de Mach pour les écoulements compressibles standarts. Les travaux restants a faire sont multiples : considérer le cas de données mal préparées, permettre au fond b de s'annuler.

 
Avec D. Bresch (LAMA Chambéry), B. Desjardins (ENS Ulm) et R. et R. Sart (Clermont Ferrand) nous étudions les effets de la tension de surface sur un mélange compressible. Dans une premiere partie, nous décrivons les résultats obtenus sur les modeles de Korteweg et les modeles de Saint-Venant. Nous étudions l’influence des termes diffusifs et des termes de tension de surface sur des phéomenes d’instabilités. Nous étudions les modeles de type interface diffuses sous l’effet d’une instabilité de type Rayleigh-Taylor. Nous donnons ainsi des résultats de stabilité pour un modele compressible de Korteweg en exploitant des inégalités d’énergie. Ces modeles permettent l’étude de l’effet de capillarité sur des modeles de mélanges turbulents pour les plasmas.

 
Un travail a commencé avec Didier Bresch, Catherine Choquet, Thierry Colin et Laurent Chupin sur deux fluides dans un canal de petite hauteur avec des rugosités.