RÉSUMÉ DU CURRICULUM VITÆ DE DIDIER D'ACUNTO


Situation Professionnelle : Post-doc à l'université de Genève (SUISSSE)

Publications :

$ \star$ 'Valeurs critiques asymptotiques d'une fonction définissable dans une structure o-minimale', Ann. Pol. Math., 75 (2000).

$ \star$ 'Sur la topologie des fibres d'une fonction définissable dans une structure o-minimale', CRAS 337 (2003), no. 5.

$ \star$ avec K. Kurdyka 'Bounds for gradient trajectories and geodesic diameter of real algebraic sets', à paraitre dans Bull. of London Math. Soc.

$ \star$ avec K. Kurdyka, 'Explicit bounds for the Łojasiewicz exponent in the gradient inequality for polynomials', Ann. Pol. Math vol. 87 num. 1(2005).

$ \star$ avec V. Grandjean, 'On gradient at infinity of semialgebraic functions', Ann. Pol. Math vol. 87 num. 1(2005).

$ \star$ avec V. Grandjean, 'A gradient inequality at infinity for tame functions', Rev. Mat. Complutense vol. 18 num. 2 (2005).

Articles soumis :

$ \star$ avec K. Kurdyka, 'Bounds for gradient trajectories of polynomial and definable functions with applications', soumis à à J. Diff. Geom. (en cours de révision)

Thèse : Sur les courbes intégrales du champ de gradient,

Soutenue le 19 décembre 2001 devant le jury composé de : D. Trotman (président), R. Moussu (rapporteur), A. Parusinski (rapporteur), K. Kurdyka (directeur de thèse), P. Orro et F. Cano. Mention très honorable.

Travaux de recherche : Je m'intéresse à la topologie et à la géométrie d'ensembles et de fonctions semi-algébriques ou analytiques. J'étudie aussi certains objets transcendants par rapport à ces catégories géométriques (par exemple les solutions de l'équation différentielle $ x^{\prime}=\nabla f(x)$).

Les résultats présentés ci-dessous, s'inscrivent dans la continuité des travaux effectués par R. Thom et S. \Lojasiewicz (conjecture du gradient), S. K. Donaldson et Y. Yomdin (transversalité quantitative), M-F. Roy (cartes routières).

Bornes universelles. Mon approche consiste à associer à un polynôme $ f$ donné une courbe algébrique réelle utilisée comme référence pour résoudre certains problèmes liés au polynôme $ f$. J'ai renforcé un théorème de S. \Lojasiewicz :

Considérons $ f:\mathbb{B}^n\to\mathbb{R}$ la restriction à la boule unité de $ \mathbb{R}^n$, d'un polynôme de degré $ d\geq 2$. Alors il existe une constante universelle $ A(n,d)$ telle que la longueur des trajectoires de $ \nabla f$ est majorée par $ A(n,d)$. De plus $ A(n,d)\sim
k_1(n)d^{n-1}$$ k_1(n)$ est explicite et dépend uniquement de la dimension de l'espace. De ce résultat on peut déduire un théorème de Sard quantitatif sur les valeurs presque critiques (valeurs correspondant à des points pour lesquels $ \vert\nabla f\vert<\varepsilon$ pour un $ \varepsilon$ donné). Il s'agit d'un raffinement d'un résultat de Y. Yomdin sur l' $ \varepsilon$-entropie des valeurs presque critiques. On donne la meilleure borne connue actuellement.

Dans le même esprit on relie deux points quelconques d'une composante connexe compacte $ M$ d'un ensemble algébrique réel de degré $ d\geq 2$ par une courbe sur $ M$ dont la longueur est de l'ordre de $ k_2(n)d^{n-1}$ et $ k_2(n)$ explicite. Ce résultat est à relier aux études sur les cartes routières (voir les travaux de S. Basu, R. Pollack et M-F. Roy).

J'envisage des applications au traitement numérique de l'image, l'imagerie médicale ou la cartographie.

Fibration de polynômes. J'ai étudié les singularités à l'infini des polynômes réels. Un résultat de Thom affirme qu'il existe seulement un nombre fini de valeurs d'un polynôme $ f$ au dessus desquelles $ f$ n'est pas une fibration localement triviale (voir aussi les travaux de Palais, Ehresmann, Tibar ou Parusinski). J'ai étudié en détails (d'abord seul puis avec V. Grandjean) la topologie des fibres de $ f$ au voisinage d'une valeur critique à l'infini. Nous avons établi une inégalité de type \Lojasiewicz à l'infini qui indique que certaines valeurs ``a priori'' mauvaises ne sont pas des valeurs de bifurcation de $ f$.

Cette étude est importante, je crois, dans la résolution de la conjecture jacobienne réelle : une application polynomiale de $ \mathbb{R}^n$ dans lui-même dont le jacobien est constant est injective.

Travaux en cours :

$ \star$ Singularités à l'infini : Quantitative Sard theorem for asymptotic critical values.

$ \star$ $ \varepsilon$-entropie des valeurs presque critique d'applications polynomiales :
Article en préparation : avec S. Simon (Chambéry), Almost critical values of a polynomial mapping.

Expériences diverses :

$ \star$ Co-organisateur de l'atelier Singularités réelles en Savoie (13-14 Juin 2003), et de l'école d'été Tame geometry : A tribute to R. Thom & S. Łojasiewicz (6-16 Juin 2005).

$ \star$ Enseignement : TD en DEUG MIAS, MASS, STPI, SVT (1998-2002 Univ. Savoie), TD en licence Math (2001). Charge d'enseignement 10/10 à l'université de Genève (2005-2006) : Analyse réelle 2è année de Math (TD annuel), TP maple et Minitab (logiciel de statistiques).

$ \star$ Co-concepteur du site web http://www.ihp-raag.org (EU network real algebraic & analytic geometry)

$ \star$ Connaissances en informatique dont les systèmes UNIX (client et serveur), multimedia (HTML, php, bases de données,...), logiciels scientifiques (Maple, Singular,...), logiciels de tracé de surface (quelques collaborations dans l'élaboration de code source). Langages de programmation : perl, php, HTML, C, C++, Turbo-Pascal (pédagogique),...

$ \star$ Encadrements de projets math-info à l'université de Savoie (DEUG MASS 2001-2002).