Projet  Défigéo  (2015-2019)
(Définissabilité en géométrie non archimédienne)
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L'utilisation de méthodes issues de la théorie des modèles en géométrie non archimédienne remonte au moins au travaux des années 60 d'Ax, Kochen et Ersov portant sur la conjecture d'Artin. La preuve, produite dans les années 80 par Denef, de la rationalité des séries de Poincaré constitue une autre application spectaculaire de cette interaction.

Plus récemment, ces outils, via le concept de définissabilité, ont joué un rôle central dans le développement de l'intégration motivique ainsi que dans l'étude de la topologie des espaces de Berkovich. Nous présentons ci-dessous quelques illustrations de cette affirmation. Cluckers et Loeser ont développé un formalisme général pour l'intégration motivique, ce qui leur a notamment permis d'obtenir un principe général de transfert pour les intégrales p-adiques dont une des applications marquantes est sa contribution à la preuve du lemme fondamental en théorie de Langlands (travail en collaboration avec Hales). Dans un contexte différent, Hrushovski et Loeser ont démontré des propriétés de modération en géométrie de Berkovich, en prouvant que les analytifiés des variétés quasi-projectives sont localement contractibles et se rétractent fortement sur un polyèdre fini. Un point important de leur approche est le caractère pro-définissable de l'espace des types stablement dominés. Cluckers, Comte et Loeser ont dégagé dans le cadre définissable p-adique un substitut efficace au théorème des accroissements finis, ce qui leur a permis en particulier d'obtenir une version p-adique du théorème de Pila-Wilkie. Dans un travail récent, Hrushovski et Loeser ont utilisé l'intégration motivique de Hrushovski-Kazhdan (fondée également sur la notion de définissabilité) ainsi que la géométrie de Berkovich pour étudier la monodromie et la fibre de Milnor. Dans des travaux récentes, Ivorra et Sebag, puis Ayoub, Ivorra et Sebag ont interprété dans la théorie des motifs triangulés le formalisme des cycles proches et fibres de Milnor produit par la théorie de l'intégration motivique et les fonctions zêta de Denef et Loeser.

Notre projet, partagé en 3 sites partenaires (Universités de Rennes, de Savoie, et Pierre et Marie Curie), réunit des chercheurs en poste dans cinq universités françaises et rattachés à une UMR CNRS de mathématiques. Si, à l'origine, chacun des membres travaillait dans des sous-domaines bien spécifiques (intégration motivique, espaces de Berkovich, singularités, théorie des nombres, motifs,...), leurs travaux ont mis en évidence des relations étroites entre les différentes problématiques et la complémentarité de leurs approches.

L'objectif de notre projet est de promouvoir cette idée d'interaction dans le champ disciplinaire évoqué à travers différentes actions dont, notamment, l'organisation de rencontres, l'invitation d'experts, le financement de post-doctorants.

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Dernière mise à jour :     02/2016