Journée théorie du contrôle et applications

Organisée par

Société Mathématique de France
et
Université de Savoie
 
 

Conférence de Jean-Pierre AUBIN
 


 

Date : 28 septembre 2000 à 11 heures

Lieu : Salle des conférences, 17 rue Marcoz à Chambéry
 
 
 
 

Le Professeur Jean-Pierre AUBIN, directeur du Centre de recherche Viabilité, Jeux, Contrôle de l'université Paris-Dauphine, fera une conférence intitulée :

Comment des problèmes de finance mathématique cèlent des problèmes de contrôle optimal et aident à les résoudre

Résumé: des problèmes de finance mathématique, tels que ceux de l'évaluation à terme d'options européennes ou américaines sont des problèmes de cible et de viabilité : "piloter" à l'aide de portefeuilles (en finance) ou de commande (en contrôle) un système dynamique de sorte que, partant d'un état initial, l'état atteigne en temps fini une cible, tout en respectant à chaque instant des contraintes sur l'état. L'ensemble de tels états initiaux, appelé bassin de capture, peut être caractérisé comme l'unique sous ensemble vérifiant des conditions tangentielles. Il est également limite d'une suite d'ensembles définis par un algorithme qui est implanté sur ordinateur. Il jouit par ailleurs de nombreuses autres propriétés fort intéressantes. Lorsque la cible et l'ensemble contraint sont des épigraphes de fonctions, le bassin de capture est alors l'épigraphe d'une fonction valeur d'un problème de contrôle optimal dont on calcule la fonctionnelle optimisée. Les conditions tangentielles expriment alors que cette fonction valeur est une solution (convenablement généralisée) d'une équation aux dérivées partielles d'Hamilton-Jacobi.
Inversement, connaissant la fonctionnelle à minimiser, on déduit que l'épigraphe de sa fonction valeur est un bassin de capture, qui hérite alors de ses nombreuses propriétés, y compris d'être solution d'une équation d'Hamilton-Jacobi.
Cette approche "épigraphe", mise au point il y a une dizaine d'années par Hélène Frankowska et ses collaborateurs, permet de trouver des propriétés des solutions d'équations d'Hamilton-Jacobi. Cette démarche est contraire au point de vue traditionnel, qui puisait dans la théorie des équations aux dérivées partielles des résultats pertinents pour résoudre des problèmes de contrôle optimal.
 


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