SINGULARITÉS RÉELLES EN SAVOIE

13-14 Juin 2003, Le Bourget-du-Lac


colloque

Participants :

G. Comte D. D'Acunto N. Dutertre G. Fichou
V. Grandjean   K. Kurdyka J-M. Lion A. Macintyre  
P. Orro A. Parusinski   F. Pelletier S. Randrianbololona
L. Rifford J-P. Rolin S. Simon R. Soufflet
Z. Szafraniec V.Thillez D. Trotman G. Valette
Organisation : K. Kurdyka et D.D'Acunto

Programme :


Vendredi 13 Juin

9h15-10h J-M. LionVolumes transverses à des feuilletages
10h-10h30 ..... Pause café .....
10h30-11h15 D. D'AcuntoDiamètre géodésique d'une hypersurface algébrique compacte
11h30h12h15 G. ComteCourbures locales et geometrie du discriminant en geometrie sous-analytique  
12h15-14h30 ..... Pause déjeuner .....
14h30-15h15 D. TrotmanLa transversalité stratifiée.
15h30-16h15 R. SouffletArc-analytic functions and polynomial arcs
16h15-16h45 ..... Pause Café .....
16h45-17h30 G. FichouArc-symmetric sets, virtual Betti numbers and Blow-Nash equivalence

Samedi 14 Juin

9h30-10h15 A. Parusinski Gradient Conjecture in o-Minimal Structures
10h15-10h45 ..... Pause café .....
10h45-11h30Z. SzafraniecOn topology of families of trajectories of an analytic gradient vector field  
11h45-h12h30 V. ThilliezSome algebraic aspects of Denjoy-Carleman classes
12h30-14h30 ..... Pause déjeuner .....
14h30-15h15A. MacintyreFrobenius maps and difference equations
15h30-16h15 L. RiffordUn théorème de Sard pour la fonction distance
16h15-16h45 ..... Pause Café .....
16h45-17h30 J-P. RolinModèle-complétude et équation d'Euler

Résumés des exposé :


G. COMTE (Université de Nice)  -  Courbures locales et geometrie du discriminant en geometrie sous-analytique. (travail en cours).
Résumé : On montre comment associer à un germe d'ensemble sous-analytique, ou plus généralement d'ensemble définissable dans une structure o-minimale, deux suites finies d'invariants locaux.
La première suite est obtenue par localisation des courbures de Lipschitz-Killing (à titre d'exemple, le volume qui est la derniére courbure de Lipschitz-Killing, se localise par la densité).
La seconde suite rend compte de la géométrie des discriminants généraux du germe.
L'objectif de ce travail est de montrer que les éléments d'une de ces deux suites sont des combinaisons linéaires à coefficients universels deséléments de l'autre.


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D. D'ACUNTO (Université de Madrid)  -  Diamètre géodésique d'une hypersurface algébrique compacte (Travail en collaboration avec K. Kurdyka).
Résumé : Soit $ M\subset \mathbb{R}^n$ une composante compacte d'un ensemble algébrique de degré $ d$. Supposons que $ M$ est contenue dans une boule de rayon $ r$, alors le diamètre géodésique de $ M$ est borné par $ 2r\nu(n)(4d-5)^n-2$. Cette borne est obtenue en majorant la longueur des courbes intégrales du champ de gradient d'une fonction de Morse sur $ M$.


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GOULWEN FICHOU (Université d'Angers)  -  Arc-symmetric sets, virtual Betti numbers and Blow-Nash equivalence.
Résumé : To a given real analytic function germ $ f: \mathbb{R}^d,0 \longrightarrow \mathbb{R},0$ we can associate Zeta functions by using motivic integration and the virtual Betti numbers defined on arc-symmetric sets. These Zeta functions are invariant under a particular case of blow-analytic equivalence, say Blow-Nash equivalence.


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JEAN-MARIE LION (Université de Rennes 1)  -  Volumes transverses à des feuilletages (travail en collaboration avec F. Chazal).
Résumé : Dans cette collaboration avec F. Chazal, on considère une famille de feuilletages définissables dans une structure o-minimales (par exemple des feuilletages algébriques de codimension p de $ \mathbb{R}^n$ et de degre fixé) ainsi qu'une famille de $ p$-formes différentielles, définissables dans la même structure o-minimale. Sous certaines conditions de nature différentielles et dynamiques, on estime uniformément l'integrale de ces formes sur des sous-variétés de dimension p transverses aux feuilletages. Ce résultat est une généralisation de travaux de \Lojasiewicz, Kurdyka et D'Acunto relatifs aux gradients d'applications.


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ANGUS MACINTYRE (The University of Edinburgh)  -  Frobenius maps and difference equations.
Résumé : I will consider logical results about the Frobenius map on the algebraic closure of a finite field (as the characteristic varies) and relate this to the study of difference equations. In addition, I will consider the lifting of these Frobenius maps to the ring of Witt vectors, and the ensuing theory of difference equations. Though closely related, these topics have a different flavour,since in the second case one is dealing with a very special difference operator continuous with respect to the valuation topology.


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ADAM PARUSINSKI (Université d'Angers)  -  Gradient Conjecture in o-Minimal Structures (joint work with Krzysztof Kurdyka).
Résumé : We show that every subset of $ \mathbb{R}^n$ definable in an o-minimal structure can be decomposed into a finite number of definable sets that are quasi-convex i.e. have comparable, up to a constant, the intrinsic distance and the distance induced from the embedding. We apply this result to study the limits of secants of the trajectories of gradient vector field $ \nabla f$ of a $ C^1$ definable function $ f$ defined in an open subset of $ \mathbb{R}^n$. We show that, if $ n=2$ or the o-minimal structure is polynomially bounded, then the limit of such secants exists, that is an analog of the gradient conjecture of R. Thom holds in these cases.


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LUDOVIC RIFFORD (Université Lyon 1)  -  Un théorème de Sard pour la fonction distance.
Résumé : Nous donnerons quelques propriétés fondamentales de la fonction distance puis nous définirons la notion de point critique pour celle-ci. Nous pourrons alors présenter un théorème de Sard et étende ce resultat a d'autres types de fonctions non différentiables.


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JEAN PHILIPPE ROLIN (Université de Bourgogne)  -  Modèle-complétude et équation d'Euler (travail en comun avec Fernando Sanz et Reinhard Schafke).
Résumé : Nous montrons que l'extension du corps des réels par les fonctions analytiques et une solution H de l'équation différentielle d'Euler est modèle-complète, c'est-à-dire satisfait un théorème du complémentaire de Gabrielov. Celà résulte de la quasianalyticité de l'algèbre de fonctions considérée, ainsi que d'une "propriété de morphisme" satisfaite par la fonction H.


ZBIGNIEW SZAFRANIEC (Université de Gdansk)  -  On topology of families of trajectories of an analytic gradient vector field.
Résumé : For an analytic gradient vector field on an analytic manifold, I will describe the Cech-Alexander cohomology groups of the familly of non-trivial trajectories that tend to a sub-analytic subset.


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REMI SOUFFLET (Université Jagellone de Cracovie)  -  Arc-analytic functions and polynomial arcs.
Résumé : We relate the notion of arc-analyticity to the notion of analyticity in restriction to arcs admitting a polynomial parametrization and we prove that in the subanalytic settings, these two notions coincide.


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VINCENT THILLIEZ (Université de Lille)  -  Some algebraic aspects of Denjoy-Carleman classes.
Résumé : Rings of germs of functions belonging to Denjoy-Carleman classes have interesting applications in real-analytic geometry. However, the current knowledge on these rings in themselves is still rather incomplete. The talk will focus on the closure properties of their ideals, in relationship with the geometry of zero loci. We shall survey recent results and open questions in this direction.


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D. TROTMAN (Université Aix-Marseille 1)  -   La transversalité stratifiée.
Résumé : Pour $X $ un ensemble stratifi\'e abstraitou une stratification de Kuo-Verdier (ainsi pour toute stratification de Whitney, Bekka ou Mostowski) d'un ferm\'e d'une vari\'et\'e, on d\'emontre que pour tout sous-espace stratif\'e $W$ de $X $ (resp. tout morphisme stratifi\'e $h : Z \to X $) et tout morphisme stratifi\'e fix\'e $g : Y \to X $, il existe une isotopie stratifi\'ee $\Phi (x;t)$ de $X $ telle que $\Phi (W)$ (resp. ou $\phi \circ h$) est transverse \`a $ g $. La preuve qu'il existe un groupe \`a un param\`etre donnant l'isotopie $\Phi$ utilise l'existence pour toute vari\'et\'e diff\'erentiable \`a bord d'une famille submersive de Goresky-MacPherson d'endomorphismes
avec des propri\'et\'es particuli\`eres..Je discuterai aussi des propri\'et\'es des r\'eunions de
2 ensembles stratifi\'es transverses.}