Sur les courbes intégrales du champ de gradient
Didier D'Acunto



Résumé de la thèse soutenue le 19 décembre 2001

L'objet de ce travail est l'étude des courbes intégrales du champ de gradient de fonctions définissables dans une structure o-minimale. On s'intéresse au comportement des courbes intégrales au voisinage d'une fibre atypique.

Le premier chapitre rappelle certaines propriétés géométriques des ensembles définissables dans une structure o-minimale.

Le deuxième chapitre s'attache à l'étude d'une famille définissable de fonctions définies sur des ouverts contenus dans un même compact. On montre grâce à la formule de Cauchy-Crofton que la longueur des courbes intégrales du champ de gradient de chaque fonction est majorée par une constante ne dépendant que de la dimension et du compact. On en déduit ensuite une borne explicite dans le cas d'un polynôme générique de degré fixé.

Le troisième chapitre est consacré au cas de fonctions de classe C1 définies sur des ouvert non bornés. On montre alors que l'ensemble des valeurs ne vérifiant pas la condition de Malgrange (valeurs critiques asymptotiques) est fini et contient les valeurs atypiques qui ne sont pas valeurs critiques.

On établit dans le quatrième chapitre un théorème de plongement d'une composante connexe arbitraire d'une fibre correspondant à la valeur critique asymptotique dans une composante connexe d'une fibre typique voisine. Ce résultat, obtenu grâce à une inégalité du type £ojasiewicz à l'infini, permet de mieux comprendre les changements de type topologiques des fibres d'une fonction définissable au voisinage d'une valeur atypique. En dimension deux, on donne une description de l'ensemble des points d'une fibre typique par lesquels passe une courbe intégrale du champ de gradient qui n'atteint pas le niveau atypique.

Enfin, le dernier chapitre étudie certaines courbes intégrales remarquables du champ de gradient. On montre qu'une courbe réalisant le minimum de la norme du gradient sur les niveaux est une courbe intégrale du champ de gradient seulement si c'est une droite. Un tel résultat ouvre des perspectives intéressantes quant à la finitude de séparatrices du champ de gradient dans le cas polynomial.

Mots clefs. Structures o-minimales, géométrie semi-algébrique, champ de gradient, valeur atypique, valeur critique asymptotique, condition de Malgrange, inégalité de £ojasiewicz.

Classification AMS. 03C64, 14P05, 14P10, 32S15, 37C10.


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