Titre: Polygones convexes discrets, segments maximaux et convergence d'estimateurs géométriques discrets

Résumé:

Dans cet exposé, nous chercherons à mettre en évidence les liens
existant entre géométrie euclidienne d'une région du plan et géométrie
discrète d'une discrétisation de cette région. Nous allons notamment
nous poser la question si des estimations de quantités géométriques
sur des discrétisations de plus en plus fines d'une région tendent
effectivement vers la quantité géométrique euclidienne
correspondante. On parle de convergence asymptotique d'estimateur
géométrique. 

Dans la littérature, il a déjà été montré que l'on pouvait définir des
estimateurs géométriques de périmètre, d'aire, de moments, et, plus
récemment, de tangentes, qui sont asymptotiquement convergents. Une
question ouverte est l'existence d'un estimateur de courbure
convergent. La courbure est un paramètre géométrique très important en
analyse d'images, car elle est à la base de la détection de points
caractéristiques, très utilisés en reconnaissance et appariement de
formes, en classification et en indexation.

Récemment, un estimateur de courbure basé sur la reconnaissance locale
de droites discrètes a été démontré convergent sous une hypothèse de
croissance asymptotique des longueurs des droites discrètes sur les
discrétisations de plus en plus fines. Cette croissance doit être en
$\sqrt{m}$ pour un pas de discrétisation de $1/m$. Cette hypothèse
semblait naturelle car elle correspond à la croissance des longueurs
des cordes sur des cercles de rayon croissant. 

Nous prouvons néanmoins que les droites discrètes ne grandissent en
moyenne pas assez vite pour que cette hypothèse soit vérifiée (en fait
en $m^{1/3}$). On ne sait donc toujours pas s'il existe un estimateur
de courbure convergent. 

Pour réaliser cette preuve, nous allons utiliser à la fois les
définitions arithmétiques et combinatoires des droites discrètes. Nous
allons ensuite relier les segments de droite discrète maximaux sur la
courbe aux arêtes de l'enveloppe convexe discrète de cette courbe, en
nombre et en longueur. Un théorème de [Balog, Barany, 91] décrivant
les propriétés asymptotiques des polygones convexes discrets nous
permettra de conclure.

Nous conclurons par quelques perspectives à ces travaux. La
connaissance de la croissance moyenne des parties linéaires des
discrétisations de formes est précieuse pour déterminer la convergence
ou la non-convergence d'autres estimateurs géométriques, mais permet
aussi de connaître les vitesses de convergence. Cela est
particulièrement utile pour l'utilisation concrète de ces estimateurs
à des résolutions données, non asymptotiques.