Titre: Polygones convexes discrets, segments maximaux et convergence d'estimateurs géométriques discrets Résumé: Dans cet exposé, nous chercherons à mettre en évidence les liens existant entre géométrie euclidienne d'une région du plan et géométrie discrète d'une discrétisation de cette région. Nous allons notamment nous poser la question si des estimations de quantités géométriques sur des discrétisations de plus en plus fines d'une région tendent effectivement vers la quantité géométrique euclidienne correspondante. On parle de convergence asymptotique d'estimateur géométrique. Dans la littérature, il a déjà été montré que l'on pouvait définir des estimateurs géométriques de périmètre, d'aire, de moments, et, plus récemment, de tangentes, qui sont asymptotiquement convergents. Une question ouverte est l'existence d'un estimateur de courbure convergent. La courbure est un paramètre géométrique très important en analyse d'images, car elle est à la base de la détection de points caractéristiques, très utilisés en reconnaissance et appariement de formes, en classification et en indexation. Récemment, un estimateur de courbure basé sur la reconnaissance locale de droites discrètes a été démontré convergent sous une hypothèse de croissance asymptotique des longueurs des droites discrètes sur les discrétisations de plus en plus fines. Cette croissance doit être en $\sqrt{m}$ pour un pas de discrétisation de $1/m$. Cette hypothèse semblait naturelle car elle correspond à la croissance des longueurs des cordes sur des cercles de rayon croissant. Nous prouvons néanmoins que les droites discrètes ne grandissent en moyenne pas assez vite pour que cette hypothèse soit vérifiée (en fait en $m^{1/3}$). On ne sait donc toujours pas s'il existe un estimateur de courbure convergent. Pour réaliser cette preuve, nous allons utiliser à la fois les définitions arithmétiques et combinatoires des droites discrètes. Nous allons ensuite relier les segments de droite discrète maximaux sur la courbe aux arêtes de l'enveloppe convexe discrète de cette courbe, en nombre et en longueur. Un théorème de [Balog, Barany, 91] décrivant les propriétés asymptotiques des polygones convexes discrets nous permettra de conclure. Nous conclurons par quelques perspectives à ces travaux. La connaissance de la croissance moyenne des parties linéaires des discrétisations de formes est précieuse pour déterminer la convergence ou la non-convergence d'autres estimateurs géométriques, mais permet aussi de connaître les vitesses de convergence. Cela est particulièrement utile pour l'utilisation concrète de ces estimateurs à des résolutions données, non asymptotiques.