DIDIER D'ACUNTO

1. Thèse :
   • D. D'Acunto, 'Sur les courbes intégrales du champ de gradient', Thèse de l'Université de Savoie (2001).
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2. Articles publiés :
   • D. D'Acunto, 'Valeurs critiques asymptotiques d'une fonction définissable dans une structure o-minimale', Ann. Pol. Math. LXXV.1 (2000), 35-45.
   • D. D'Acunto, 'Sur la topologie des fibres d'une fonction définissable dans une structure o-minimale', C. R. Math. Acad. Sci. Paris 337 (2003), no. 5, 327--330.
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   • D. D'Acunto, K. Kurdyka,'Geodesic diameter of compact connected component of an algebraic set', à paraitre dans J. London Math. Soc.
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   • D. D'Acunto, V. Grandjean,'A gradient inequality at infinity for tame functions', Rev. Mat. Complutense vol. 18 num. 2 (2005).
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   • D. D'Acunto, K. Kurdyka,'Explicit bounds for the Łojasiewicz exponent in the gradient inequality for polynomials', Ann. Pol. Math. LXXXVII.1(2005).
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   • D. D'Acunto, V. Grandjean,'On gradient at infinity of semialgebraic functions', Ann. Pol. Math. LXXXVII.1(2005).
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3. Articles soumis :
   • D. D'Acunto and K. Kurdyka, 'Bounds for gradient trajectories of polynomial and definable functions with applications', Soumis à J. Diff. Geometry (2004).
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4. Prépublications :
   • D. D'Acunto, V. Grandjean, 'On gradient at infinity of real polynomials', Preprint de l'Université de Savoie (2004).
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5. Travaux en cours :
   • D. D'Acunto, On Talweg lines of polynomial and analytic functions'
   • D. D'Acunto, 'ε-entropy of critical values at infinity'

Singularités à l'infini
Dans la continuité des travaux effectués durant ma thèse, et avec la participation de Vincent Grandjean nous étudions les singularités à l'infini des polynômes de deux variables réelles. En quelque sorte, cela revient à se demander dans quelle mesure le flot du champ de gradient réalise la fibration du polynôme. Cette étude s'inscrit en réalité dans le cadre plus général de l'étude des singularités à l'infini des fonctions définissables dans une structure o-minimale. Dans le cas polynomial, on étudie les niveaux c d'un polynôme f qui sont critiques à l'infini (au sens de Malgrange). Dans certains cas il existe une courbe intégrale X du champ de gradient, de longueur infinie sur laquelle f reste bornée (i.e. f converge vers c le long de la courbe intégrale X mais X n'intersecte pas le niveau f^-1(c) ). Il existe des exemples de polynômes qui montrent que la condition de Malgrange (|x|.|gradf(x)| > K dans un voisinage du niveau c pour une constante K strictement positive) n'est pas une condition nécessaire de fibration au voisinage de c. Voir l'exemple (A. Parusinski) .... Not yet available!

Exemples significatifs

f(x,y)= - y(2x²y²-9xy+12) (H. King) Voir l'exemple

f(x,y)=y(xy-1) (S. Broughton) Voir l'exemple

Borne uniforme
Dans un travail en commun avec K. Kurdyka nous étudions les trajectoires du gradient de fonctions définissables définies dans des ouverts bornés. On montre que si F={f_p} est une famille définissable de fonctions dont les domaines de définition sont contenus dans un même compact K alors la longueur des trajectoires du gradient de chaque fonction f_p appartenant à la famille {F} est majoré indépendemment de paramètre p.
Dans le cas polynomial, si f est un polynôme à n variables et de degré d (les deux entiers sont au moins égaux à 2) alors la longueur des courbes intégrales du gradient de f dans la boule unité est majoré par une constante A(n,d) ne dépendant pas des coefficients du polynôme. En fait on donne une borne réaliste pour A(n,d), soit la constante m(n)[(3d-4)^n-1+2(3d-3)^n-2]
où m(n) est une constante dépendant uniquement de la dimension n.

Application
On utilise les techniques du paragraphe précédent pour majorer le diamètre géodésique d'une hypersurface algébrique compacte et non singulière. Supposons que M est une composante connexe compacte (disons contenue dans une boule de rayon r) du niveau 0 d'un polynôme de degré d à n variables. On obtient la borne suivante pour le diamètre géodésique: 2m(n)d(4d-5)^n-2
où m(n) est la même constante que précédemment.