Caractère bien posé d'équations fortement non-linéaires :
Référence :
- D. Bresch, B. Desjardins, On the existence of global weak solutions to the Navier-Stokes equations for viscous compressible and heat conducting fluids.
J. Math Pures et Appliquées, 2007, vol. 87, no1, pp. 57-90.
Résumé :
Ce résultat étend le travail de P.-L. Lions de 1993 [P.-L. Lions, Compacité des solutions des équations de Navier-Stokes compressibles isentropiques, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I 317 (1993) 115-120] concernant les fluides barotropes, et procure des solutions faibles « à la Leray » du modèle compressible complet incluant l'équation d'évolution de l'énergie interne avec effets de conductivité thermique. Une réponse partielle est alors donnée à ce problème largement ouvert décrit par exemple dans le livre de P.-L. Lions [P.-L. Lions, Mathematical Topics in Fluid Dynamics, vol. 2, Compressible Models, Oxford Science Publication, Oxford, 1998].
Equations de Saint-Venant :
Référence :
- D. Bresch, P. Noble, Mathematical Justification of a shallow water model.
Methods and Applications of Analysis, 14 (2007) no. 2, p. 87-117.
Résumé :
Ce résultat donne la première justification mathématique concernant l'obtention d'un modèle de type Saint-Venant à partir de Navier-Stokes incompressible à surface libre avec adhérence au fond. Le travail repose sur une étude détaillée du comportement de la solution vis à vis du rapport d'aspect et sur le schéma d'approximation établi par J.P. Vila.
Référence :
- D. Bresch, M. Gisclon and C.K. Lin, An example of low Mach (Froude) number effects for compressible flows with nonconstant density (height) limit.
M2AN: Math. Model. Numer. Anal., vol. 39, 3, 477--486, 2005.
Résumé :
Dans ce papier, nous avons donné un exemple de limite faible nombre de Mach (Froude) d'écoulements compressibles quand la densité initiale (hauteur) est pratiquement égale à une fonction connue dépendant de la variable d'espace x. On justifie alors mathématiquement le lien entre des équations de type Saint-Venant visqueuses et des équations visqueuses utilisées pour simuler l'écoulement dans les grands lacs. Ce résultat concerne les solutions faibles, il faut alors faire attention à la possible dégénérescence de la hauteur h.
Croisements de valeurs propres :
Référence :
- D. Bresch, B. Desjardins, E. Grenier, Crossing of eigenvalues: Measure type estimates. Journal of Differential Equations. Volume 241, Issue 2, 15 October 2007, Pages 207-224.
Résumé :
Ce travail concerne le comportement de valeurs propres pour des opérateurs elliptiques non homogène. Après avoir défini une mesure adéquate, nous présentons alors des estimations sur la base de cette mesure évaluant le voisinage de l'ensemble résonant.
Existence et comportement asymptotique de la solution d'équations des ondes amorties avec des conditions au limites dynamiques :
Références :
- S. Gerbi, B. Said-Houari, Local existence and exponential growth for a semilinear damped wave equation with dynamic boundary conditions, Advances in Differential Equations, Vol. 13, No. 11-12, (2008), pp. 1051-1074.
- S. Gerbi, B. Said-Houari, Asymptotic stability and blow up for a semilinear damped wave equation with dynamic boundary conditions.
Résumé :
Belkacem Said-Houari (Université d'Annaba, Algérie) et Stéphane Gerbi étudient l'existence et le comportement asymptotique de la solution d'équations des ondes amorties avec des conditions au limites dynamiques. Navons montré l'existence locale et l'unicité par une méthode de Faddeo-Galerkin couplée à un point fixe (difficile à mettre en oeuvre à cause des conditions aux limites dynamiques) }. Nous avons aussi montré une croissance exponentielle de la solution (en norme p) lorsque l'énergie initiale est plus grande que le niveau de potentiel minimal. Le comportement qualitatif de la solution est conditionné par l'énergie de la donnée initiale $u_0$ et est ausi étudié.
Stabilité des solutions d'EDPs elliptiques pour des perturbations du domaine géométrique :
Référence :
- D. Bucur, Characterization of the shape stability for nonlinear elliptic problems, J. Differential Equations, 226 (2006), no. 1, 99--117.
Résumé :
On a obtenu une caractérisation de la stabilité L&infin des solutions des EDP elliptiques (non-linéaires de type p-Laplacien) pour des perturbations arbitraires du domaine géométrique. La stabilité a lieu si et seulement si deux conditions sont simultanément satisfaites : une, liée au comportement local en capacité (comme pour la Γ
p -convergence), et une autre condition de type purement géométrique. Comme cas particulier, nous caractérisons aussi les domaines stables au sens de Keldysh pour la convergence L&infin.
Effets de rugosité :
Références :
- D. Bucur, E. Feireisl, S. Necasova, On the asymptotic limit of flows past a ribbed boundary J. Math. Fluid Mech., 10 (2008), 554-568.
- D. Bucur, E. Feireisl, S. Necasova, J. Wolf, On the asymptotic limit of the Navier-Stokes system with rough boundaries, J. Differential Equations, 244 (2008), no. 11, 2890--2908.
Résumé :
C'est une série de travaux où nous avons introduit de nouveaux outils pour quantifier l'effet de rugosité sur le bord d'un domaine occupé par un fluide, d'un côté à travers des mesures capacitaires (quantification locale en termes d'énergie) et d'un autre côté à travers des mesures de Young (quantification mécanique des rugosités). Ce travail continue sur des aspects plus fins d'estimation de l'asymptotique de la norme $L2$ des solutions d'équations de Navier-Stokes dans un voisinage d'un bord rugueux (arbitraire) et sur l'obtention de la forme générale de l'effet de rugosité, à travers une nouvelle classe de conditions au bord pour l'équation de Navier-Stokes ("driven-friction").
Références :
- D. Bresch, C. Choquet, L. Chupin, T. Colin, M. Gisclon.
Roughness-Induced Effect at Main order on the Reynolds Approximation,
subm., 2009.
Résumé :
Habituellement les équations de Stokes qui gouvernent un écoulement dans un domaine régulier d'épaisseur $\espilon$ sont liées aux équations de Reynolds pour la pression. Nous avons montré dans ce papier que pour un domaine peu profond rugueux (de rugosité d'ordre $\epsilon2$) l'écoulement est gouverné par une équation de Reynolds modifié. Le système limite est mathémaiquement justifié par le biais d'une convergence double-échelle modifiée prenant en compte l'anistotropie du profile d'hauteur. On montre alors que ce type de rugosité peut permettre une accélération de la vitesse.
Équations différentielles stochastiques rétrogrades quadratiques non bornées :
Références :
- Ph. Briand, Y. Hu, Quadratic BSDEs with convex generators and unbounded terminal conditions., Probab. Theory Related Fields, 141, (2008), no. 3-4, 543--567.
- Ph. Briand, Y. Hu, BSDE with quadratic growth and unbounded terminal value., Probab. Theory Related Fields, 136, (2006), no. 4, 604--618.
Résumé :
Ces deux articles sont consacrés à l'étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades dont le générateur a un comportement quadratique et la condition terminale est non bornée. Les résultats obtenus fournissent en particulier une formule de type Feynman-Kac pour les solutions d'EDP paraboliques semi-linéaires quadratiques par rapport au gradient de la solution dont la condition initiale n'est pas bornée, situation typique des problèmes de contrôle stochastique.
New kind of boundary layer induced instability :
Références :
-
D. Dutykh, Group and phase velocities in the free-surface visco-potential flow: new kind of boundary layer induced instability, Submitted to Physics Letters A (2009).
Résumé :
Water wave propagation can be attenuated by various physical mechanisms. One of the main sources of wave energy dissipation lies in boundary layers. The present work is entirely devoted to thorough analysis of the dispersion relation of the novel visco-potential formulation. There is an unexpected conclusion of this study. According to our computations, the bottom boundary layer creates disintegrating modes in the group velocity. In the same time, the imaginary part of the phase velocity remains negative for all times. This result can be interpreted as a new kind of instability which is induced by the bottom boundary layer effect.
Analyse mathématique d'E.D.P. du Génie Chimique : Chromatographie en phase gazeuse.
Références :
- C. Bourdarias, M. Gisclon, S. Junca, Hyperbolic models in gas-solid chromatography, Bol. Soc. Esp. Mat. Apl., 43 :29-57, 2008.
- C. Bourdarias, M. Gisclon, S. Junca, Existence of weak entropy solutions for gas chromatography system with one or two active species and non convex isotherms, CMS, Vol. 5, N°1, 2007, pp. 67-84.
- C. Bourdarias, M. Gisclon, S. Junca, Some mathematical results on a
system of transport equations with an algebraic constraint describing
fixed-bed adsorption of gases, J. of Math. Anal. and Appl. 313 (2006), 551-571.
Résumé :
La modélisation d'une phase du cycle d'absorption d'un mélange gazeux à température constante, appelé cycle P.S.A. (Pressure Swing Adsorption), conduit à l'écriture d'un système non linéaire d'équations de type transport avec termes sources décrivant les changements de phase. Ce modèle prend en compte l'effet de sorption (variations de la vitesse au cours du processus). Le cas de l'adsorption avec équilibre instantané entre les phases gazeuse et solide généralise les équations de la chromatographie (dans lesquelles la vitesse du fluide vecteur est constante). Il s'écrit comme un système hyperbolique intégro-différentiel étudié actuellement par C. Bourdarias, M. Gisclon et S. Junca (Université de Nice). Le système est analysé comme un système hyperbolique avec la variable d'espace jouant le rôle de variable d'évolution (i.e. interversion de x et t). Nous avons décrit toutes les entropies du système et prouvé l'existence d'une solution faible entropique. Plusieurs directions sont actuellement explorées : approche cinétique, étude de la propagation des oscillations, phénomènes de blow-up (travaux soumis), relaxation, problème non isotherme...
Asymptotic Analysis in Flow Curves for a Model of Soft Glassy Fluids.
Référence :
- J. Olivier, Asymptotic Analysis in Flow Curves for a Model of Soft Glassy Fluids,Submitted, 2009.
Résumé :
Dans cet article on prouve rigoureusement plusieurs asymptotiques pour les courbes de flot du modèle d'Hébraud-Lequeux, un modèle rhéologique qui décrit le comportement de fluides vitreux. Ce modèle a un paramètre de contrôle α qui gouverne le comportement du fluide à faible cisaillement. Plus précisément si on considère la fonction τ(γ') de la contrainte en fonction du taux de cisaillement γ', son comportement asymptotique à γ' → 0 change lorsque α passe par une valeur critique. L'étude est compliquée par le fait que l'un des paramètres du modèle n'est donné qu'implicitement, et qu'il faut lever des dégénérescences.