The seminar of the team Géométrie is under the responsibility of Michel Raibaut.
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Year 2009

Friday 11th December 2009 at 10h15 Stéphane Druel (Institut Fourier),
Caractérisations des espaces projectifs et des quadriques lisses

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Les courbes sur une variété sont apparues ces vingt dernières années comme un outil très efficace pour étudier les propriétés géométriques de la variété. On peut même, dans certains cas, déterminer complètement sa géométrie ; on obtient ainsi de nouvelles caractérisations des espaces projectifs et des quadriques lisses.

Thursday 10th December 2009 at 15h Daniel Plaumann (Université de Konstanz),
The ring of bounded polynomials on a semi-algebraic set

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Given a semialgebraic set S, we study the ring B of polynomials that are bounded on S. The size of B can be seen as a measure for the ``compactness'' of S. In general, B is not a finitely generated R-algebra. In this talk, we will discuss necessary and sufficient conditions for B to be finitely generated. In particular, we show that B(S) is finitely generated if S is of dimension at most 2 and sufficiently regular. If time permits, we will also address some applications to certificates of positivity. (joint work with Claus Scheiderer)

Friday 4th December 2009 at 10h15 Nicolas Ressayre (Montpellier),
Sur le problème de Horn et ses généralisations

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Que peut-on dire du spectre de la somme $A+B$ de deux matrices hermitiennes si l'on ne connait que les spectres de $A$ et de $B$ ? Depuis 1912, cette question a été abordée tour à tour par des méthodes d'algèbre linéaire, de géométrie symplectique, de combinatoire, de géométrie immobilière, de géométrie algébrique, de théorie des représentations des groupes ou des carquois... Nous présenterons dans cet exposé l'interprétation de cette question en termes de théorie des représentations du groupe ${rm GL}_n({mathbb C})$. Ceci nous conduira à des généralisations naturelles et utiles. Nous présenterons ensuite les progrès récents permis par la géométrie algébrique.

Friday 20th November 2009 at 10h15 Patrick Popescu-Pampu (Jussieu),
Topologie de contact et singularités complexes

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Etant donné un germe de surface complexe à singularité isolée, son bord est une variété compacte de dimension 3 portant une orientation et une structure de contact canoniques. La théorie des déformations de la singularité fournit un nombre fini, à difféomorphismes près, de remplissages de Stein de ce bord de contact, les fibres de Milnor de la singularité. C'est un problème très largement ouvert de décrire ces fibres de Milnor parmi les remplissages de ce bord de contact. Je décrirai l'état de l'art concernant ce problème, et en particulier mes contributions faites en collaboration avec András Némethi.

Friday 6th November 2009 at 10h15 Nicolas Dutertre (LATP Marseille),
Indice radial et indice de Poincaré-Hopf index de 1-formes sur des ensembles semi-analytiques

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L’indice radial d’une 1-forme sur un ensemble singulier est une généralisation de l’indice de Poincaré-Hopf. On considère différentes classes d’ensembles semi-analytiques fermés dans $\mathbb{R}^n$ qui contiennent $0$ dans leur lieu singulier et nous relions l’indice radial d’une 1-forme en $0$ sur ces ensembles à des indices de Poincaré-Hopf en $0$ de champs de vecteurs définis sur $\mathbb{R}^n$.

Friday 23rd October 2009 at 10h15 Zbigniev Jelonek (Académie des Sciences de Pologne),
Set of non-properness for mappings of uniruled varieties

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I prove that a set of non-properness of a dominant polynomial mapping f : X -> Y is always a k-uniruled hypersurface. As application, we see that a set of fixed points of unipotent group acting on affine variety is k-uniruled.

Friday 16th October 2009 at 10h15 Vsevolod Shevchishin (Hamburg),
Symplectomorphism group and Lagrangian isotopy problem for spheres in rational 4-manifold

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Let (X,\omega) be blown-up CP^2 equipped with some symplectic form. I show that Lagrangian isotopy classes of spheres in (X,\omega) can be indexed by conjugacy classes of certain generators in the group G of connected components of the symplectomorphism group of (X,\omega). Then I show that this group is isomorphic to the fundamental group G of the complement to certain divisor D in (Cp^2)^k parametrising certain constellations of k points in CP^2. I describe a presentation of the group G and compute it for certain special case. As the result, I show that for a special choice of the Kähler form in CP^2 blown-up in 5 points the Lagrangian isotopy classes of spheres representing a given homology class are paramtrized by integer 2x2-matrices in Gl(2,Z) conjugated to the matrix
| 1 2 |
| 0 1 |.

Friday 9th October 2009 at 10h15 Georges Comte (Nice),
Géométrie locale des ensembles définissables p-adiques

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Les ensembles semi-algébriques et sous-analytiques p-adiques ont été introduits et étudiés par McIntyre, Denef et Van den Dries entre autres. Nous étudierons la géométrie des germes d'ensembles de ces catégories, tout particulièrement leurs propriétés métriques, comme l'existence de la densité locale et de cônes tangents distingués en montrant comment les propriétés géométriques des ensembles sous-analytiques réels se traduisent dans le cas valué.

Friday 25th September 2009 at 10h15 Maria MICHALSKA (LAMA),
Remarks on Schmudgen's theorem in non-compact case

Friday 18th September 2009 at 10h15 Olivier Le Gal (LAMA),
Un résultat de o-minimalité sous des hypothèses génériques

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On s’intéresse aux structures R_f = (R,+,*,<,f) engendrées par une fonction C^\infty f restreinte à un compact. L’objet de cet exposé est de montrer que pour une fonction f générique, la structure R_f est o-minimale. On exibera en effet une condition explicite sur les développements de Taylor de f qui implique la o-minimalité de R_f et est générique au sens de Whitney. L’essentiel de la preuve consiste a établir la quasi-analyticité de certaines algèbres differentielles engendrées par f. Ce résultat permet d’obtenir très simplement les corollaires suivants (les deux premiers étant déjà connus) : 1. Il existe des structures o-minimales n’admettant pas la propriété de décomposition analytique. 2. Il existe des structures o-minimales incompatibles (au sens où elles ne sont pas des restrictions d’une même structure o-minimale) 3. Il existe des structures o-minimales incompatibles avec les sous-analytiques.

Friday 29th May 2009 at 10h15 Mounir Nisse (Jussieu),
Amibes et co-amibes, complexes et non Archimédiennes

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On donnera la définition des objets en questions avec quelques motivations et des exemples simples. Ensuite, on interprètera ces objets comme un lien entre la géométrie complexe et la géométrie tropicale. Enfin on verra une ou deux applications à certains problèmes de la géométrie algébrique classique, par exemple une condition nécessaire sur les coefficients d'un polynôme réel à deux variables pour que ses zéros réels définissent une courbes de Harnack.

Friday 24th April 2009 at 10h15 Andreas Bernig (Université de Fribourg),
Géométrie intégrale des espaces hermitiens

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Dans un travail en commun avec Joseph Fu, on a pu établir d'une facon explicite les formules cinématiques pour le groupe unitaire $U(n)$. La solution est basée sur une algébraisation de la géométrie intégrale qui a été initiée par Semyon Alesker. Après avoir revu la formule cinématique classique de Chern-Blaschke-Santalo, je donne un apercu de la géométrie intégrale hermitienne.

Friday 10th April 2009 at 10h15 Giovanni Morando (Universidade de Lisboa),
Jets de Whitney stratifiés et ultradistributions tempérées sur le site sousanalytique

Abstract available as a PDF file.

Friday 20th March 2009 at 10h15 Farah Farah (LAMA),
Etude des courbes extrémales et optimales d'un Lagrangien régulier avec contraintes non holonomes

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Etant donné un Lagrangien sur un sous-fibré du fibré tangent à une variété, le principe du maximum de Pontryagine permet de définir une notion naturelle de courbe extrémale de ce Lagrangien. Lorsque ce Lagrangien est régulier, on peut adapter à ce contexte, la dualité classique entre ``formalisme lagrangien'' et ``formalisme hamiltonien'' via une transformation de Legendre. Enfin, on peut aussi construire une unique ``pseudo-connexion'' intrinsèque sur un fibré adéquat, dont les ``géodésiques'' sont les extrémales de ce Lagrangien. On donne également des conditions suffisantes pour qu'une extrémale soit (localement) optimale.

Friday 13th March 2009 at 10h15 Frédéric Bihan (LAMA),
Une multiplicité d'intersection en géométrie tropicale

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On définit une multiplicité d'intersection pour des hypersurfaces tropicales donnée par des volumes mixtes de polytopes associés. On montre que cette multiplicité a des propriétés comparables à celles de la multiplicité d'intersection dans le monde complexe. Par exemple, les théorèmes de Bézout et de Bernstein-Kouchnirenko restent valables dans le monde tropical.

Friday 6th March 2009 at 10h15 Ilia Itenberg (Strasbourg),
Invariants de Welschinger et congruences modulo 4

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Les invariants de Welschinger sont des analogues réels d'invariants de Gromov-Witten de genre zéro. L'approche tropicale basée sur le théorème de correspondance de G. Mikhalkin permet de calculer les invariants de Welschinger dans un certain nombre de cas. En particulier, G. Mikhalkin a démontré des congruences modulo 4 pour les invariants de Welschinger des surfaces toriques de Del Pezzo. En utilisant l'approche tropicale, on établit des congruences modulo 4 pour les invariants de Welschinger du plan projectif éclaté en 4 ou 5 points réels (travail en commun avec V. Kharlamov et E. Shustin).

Friday 27th February 2009 at 10h15 Adrien Dubouloz (Dijon),
Variations autour du Problème de Simplification

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Une question naturelle en algèbre commutative consiste à savoir si l'anneau des coefficients d'un anneau de polynômes en une variable t est bien déterminé : autrement dit, si A et B sont deux anneaux tel que A[t]=B[t], est-il vrai que A=B ? Il est facile de se convaincre que cette simplification ne se produit pas en général, un contre-exemple géométrique typique étant fourni par le fait classique que le fibré tangent à la sphère réelle de dimension 2 est non trivial mais stablement trivial. La version géométrique de cette question dans le cas des variétés algébriques complexes affines se trouve être plus subtile. Dans cet exposé, je ferai un bref panorama des résultats généreaux connus et présenterai un contre-exemple obtenu avec des surfaces affines par Danielewski en 1989. Je donnerai quelques pistes permettant de construire des analogues en dimension supérieure. J'expliquerai ensuite comment ces types de contre-exemples peuvent intervenir dans la construction et l'étude de structures de variétés algébriques complexes exotiques sur les espaces affines euclidiens et certaines de leurs sous-variétés.

Friday 30th January 2009 at 10h15 Frédéric Mangolte (LAMA),
Une généralisation au cas singulier d'un théorème de Comessatti sur les surfaces rationnelles réelles

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Soit X une surface géométriquement rationnelle définie sur R et M une composante connexe de X(R). Le théorème de Comessatti (1914) affirme que si X est non-singulière et M orientable, alors M est une sphère ou un tore. Nous avons montré que si X admet des singularités Du Val et que M est un orbifold orientable, alors M est sphérique ou euclidien. Mais le cas non-orientable réservait une surprise : en effet lorsque X est minimale et non-singulière, M ne peut pas être de type hyperbolique (Comessatti encore). Nous avons construit un exemple singulier où X est minimale et M est de type hyperbolique. Ces résultats ont notamment des applications à la classification des variétés réelles de dimension 3 qui sont rationnellement connexes. (Travail en collaboration avec Fabrizio Catanese.)

Friday 23rd January 2009 at 10h15 Patrick Verovic (LAMA),
Reporté à une date ultérieure

Friday 9th January 2009 at 10h15 Édouard Oudet (LAMA),
Du tambour aux abeilles : quelles formes optimales ?

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Après avoir rappelé des résultats classiques relatifs aux inégalités de type iso-périmétriques dans les problèmes de valeurs propres du laplacien, je présenterai quelques résultats numériques liés à ces problèmes. Dans un deuxième temps, je m'intéresserai plus en détail à un problème de partition optimale qui a reçu une attention particulière ces dernières années.

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