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Year 2007

Friday 14th December 2007 at 10h15 Christophe Raffalli (LAMA),
Deux constructions élémentaires de courbes réelles maximales sur l'hyperboloïde (travail en collaboration avec F. Mangolte)

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La question de l'existence de certaines surfaces quartique de P^3(R) a été posée par Hilbert dans la première partie de son 16° problème. En 1975, Kharlamov a montré l'existence de ces surfaces quartiques de P^3(R) par une méthode non constructive. En 1979, Viro a montré comment, en partant de courbes sur l'hyperboloïde, on pouvait prouver directement l'existence des surfaces quartiques P^3(R) considérées. Mais Viro ne détaille pas la construction de toutes les courbes utilisées. Dans cet exposé, on construira explicitement les courbes réelles de genre 9 avec 10 composantes connexes nécessaires et on appliquera ce résultat aux surfaces quartiques.

Friday 7th December 2007 at 10h15 Frédéric Bihan (LAMA),
Nouvelles bornes sur la topologie des hypersurfaces fewnomiales

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Dans cet exposé, on présentera des bornes sur la topologie d'un hypersurface fewnomiale qui améliorent grandement celles précédemment connues. Ces nouvelles bornes utilisent celles obtenues récémment par l'orateur et Frank Sottile sur le nombre de solutions positives de systèmes fewnomiaux. On montrera aussi, si le temps le permet, comment on peut modifier légèrement la preuve de de ces dernières bornes de manière à en obtenir d'autres sur le nombre de solutions réelles, qui soient également asymptotiquement optimales.

Friday 30th November 2007 at 10h15 Antonio Costa (UNED Madrid),
Reporté à une date ultérieure

Friday 23rd November 2007 at 10h15 Serge Randriambololona (Lyon),
Définir la multiplication restreinte dans une expansion o-minimale du groupe additif ordonné des réels (Travail en cours, en commun avec Y. Peterzil)

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Les axiomes d'o-minimalité les plus généraux ne spécifient pas qu'une structure o-minimale définit une structure de corps réel clos sur son univers. Néanmoins, le théorème de trichotomie assure qu'il est difficile de ne pas y trouver un corps: à moins qu'une structure o-minimale soit ``triviale'' ou ``localement modulaire'', un corps y est type-définissable. Dans le cas où la structure a pour univers l'ensemble des réels muni de son ordre naturel et définit le graphe de l'addition, et qu'elle est ni triviale ni localement modulaire, il se peut que la structure de corps découlant du théorème de trichotomie ne soit pas la structure naturelle de corps des réels. Nous présenterons quelques critères assurant que ce soit bien le cas.

Friday 16th November 2007 at 10h15 Frédéric Mangolte (LAMA),
Vers une généralisation en dimension trois d'un théorème de Comessatti sur les surfaces rationnelles réelles

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D’après un théorème célèbre énoncé par Comessatti en 1914, si X est une surface géométriquement rationnelle et définie sur R, alors une composante connexe orientable S de X a son genre g(S) majoré par 1. Ce résultat reste vrai si on considère plus généralement X uniréglée. En dimension trois, le genre ne suffit plus à classifier les variétés compactes orientables et la classe des variétés uniréglées est plus vaste. Nous discuterons des généralisations possibles en dimension trois de l’énoncé de Comessatti à la lumière de plusieurs résultats récents de Kollár, Viterbo, Eliashberg, Huisman, Catanese et moi-même.

Friday 9th November 2007 at 10h15 J.-P. Rolin (IMB, Dijon),
Une structure o-minimale qui n’admet pas de décomposition cellulaire de classe $C^{\infty}$

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Un résultat classique sur les structures o-minimales affirme que tout ensemble définissable est, pour tout entier $k$, une union finie de cellules de classe $C^k$. En fait, la plupart des structures o-minimales connues ont la propriété de décomposition cellulaire analytique. Dans un travail récent en commun avec Olivier Legal (Université de Rennes), nous montrons comment construire, à partir d’algèbres quasianalytiques convenables, une structure o-minimale qui n’admet pas la propriété de décomposition cellulaire $C^{\infty}$.

Friday 26th October 2007 at 10h15 Alexei Tsygvintsev (ENS Lyon),
Systèmes fuchsiens, le problème des trois corps et des toupies flottantes

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La mécanique classique nous parvient des équations différentielles sous la forme : $\frac{dX}{dt}=f(X)$, $t\in \mathbb{R}$, $X\in \mathbb R^n$. Normalement, il y a très peu choses qu’on sait dire sur la dynamique globale des solutions $X(t)$ vues comme des courbes réelles dans $\mathbb{R}^n$. L’étude s’enrichit beaucoup quand on complexifie le problème i.e considère $t\in \mathbb{C}$, $X\in \mathbb C^n$. L’approche de Ziglin (1980’s) réduit alors l’analyse des propriétés dynamiques (l’intégrabilité, la stabilité etc.) à l’étude purement algébrique des sous-groupes de $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ qui apparaissent comme des groupes de monodromie des équations aux variations autour d’une solution particulière. Dans cette exposé je présente des résultats récents dans cette direction relatives aux problèmes classiques da la mécanique : le problème des trois corps, le Rattleback et le Levitron (une toupie flottant dans le champ magnétique). Quelques démonstrations sont prévues. Références [1] A. Tsygvintsev, On some exceptional cases in the integrability of the three-body problem, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Vol. 99, No. 1, 237-247, 2007 [2] H. Dullin, A. Tsygvintsev, On the analytic non-integrability of the Rattleback problem, Annales de la faculté des sciences de Toulouse, à paraître

Friday 19th October 2007 at 10h15 Nicolas Dutertre (CMI Marseille),
Une formule de Gauss-Bonnet pour les ensembles semi-algébriques fermés

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On établit une formule pour la courbure de Gauss-Bonnet-Chern totale d'un ensemble semi-algébrique fermé X de R^n en fonction de sa caractéristique d'Euler-Poincaré et de son comportement à l'infini.

Friday 5th October 2007 at 10h15 LAMA (LAMA),
Relâche

Friday 28th September 2007 at 10h15 Krzysztof Kurdyka (LAMA),
Théorèmes d'inversion non-lisses

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Nous donnons plusieurs généralisations du théorème suivant de Clarke, (sur l'inversion locale des fonctions lipschitziennes) : soit $f$ une fonction d'un ouvert de $R^n$ dans $R^n$ si l'enveloppe convexe fermée des limites (en un point $x$) des différentielles ne contient pas des matrices singulières alors $f$ est inversible au voisinage de $x$. Nos résultats concernent essentiellement le cas des fonctions définissables dans une structure o-minimale. La preuve du résultat principal utilise quelques notions d'analyse convexe. La généralisation au cas de dimension infinie reste largement ouverte.

Friday 21st September 2007 at 10h15 Frédéric Mangolte (LAMA),
Le groupe des diffeomorphismes algébriques d'une surface rationnelle est n-transitif (Travail en collaboration avec J. Huisman)

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Soit X une surface algébrique réelle connexe compacte rationnelle non-singulière. Notons Diff_alg(X) le groupe des difféomorphismes algébriques de X dans X. Le groupe Diff_alg(X) agit diagonalement sur X^n pour tout entier naturel n. Nous montrons que cette action est transitive pour tout n. Comme application, nous donnons une nouvelle preuve plus simple du fait que deux surfaces algébriques réelles connexes compactes rationnelles non-singulières sont algébriquement difféomorphes si et seulement si elles sont homéomorphes en tant que surfaces topologiques.

Friday 29th June 2007 at 10h15 Boris Thibert (LJK - Grenoble),
Approximation des géodésiques

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Nous nous intéressons dans cet exposé au problème suivant : nous considérons une triangulation T_n qui converge au sens de Hausdorff et en normales vers une surface S régulière de classe C^2. Sur chaque triangulation T_n nous considérons une courbe géodésique C_n qui converge vers une courbe C de S. Il est alors naturel de se demander si C est une géodésique de S. Dans le cas où C_n est un plus court chemin, il est connu que C est aussi un plus court chemin. Nous allons montrer que ce résultat ne tient plus si l'on suppose que C_n est une géodésique sans être un plus court chemin. Cependant, en faisant des hypothèses supplémentaires sur la vitesse de convergence des normales et sur les longueurs des arêtes, il est possible de garantir que la courbe limite C est une géodésique. Ce travail peut ensuite s'appliquer à certains schémas de subdivision. Il permet ainsi de valider un algorithme existant de V. Pham-Trong et al. en 2001, qui permet de calculer des géodésiques (qui ne sont pas forcément des plus court chemins) sur une suite de surfaces de subdivision.

Friday 22nd June 2007 at 10h15 Wiesław Pawłucki (U. Jagellone, Cracovie),
Lipschitz cell decomposition in o-minimal structures

Friday 15th June 2007 at 11h15 Wiesław Pawłucki (U. Jagellone, Cracovie),
A linear extension operator for Whitney fields on closed o-minimal sets

Friday 8th June 2007 at 10h15 Johannes Huisman (Brest),
Modèles algébriques réels rationnels des surfaces topologiques (Travail en collaboration avec I. Biswas)

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Comessatti a démontré qu'une surface rationnelle réelle est soit non orientable, soit difféomorphe à une sphère ou un tore. Réciproquement, si S est une surface non orientable ou difféomorphe à une sphère ou un tore, il existe une surface rationnelle réelle X difféomorphe à S. Dans cet exposé on démontre que si Y est une autre surface rationnelle réelle difféomorphe à S, alors X et Y sont biregulièrement isomorphes. Autrement dit, les surfaces non orientables, la sphère et le tore ont exactement un seul modèle algébrique rationnel réel à isomorphisme birégulier près.

Friday 1st June 2007 at 10h15 Jean-Philippe Monnier (Angers),
Points fixes des automorphismes des courbes algebriques réelles

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On borne le nombre de points fixes d'un automorphisme d'une courbe algébrique réelle en fonction du genre de la courbe et du nombre de composantes connexes de la partie réelle de la courbe. On utilise cette borne pour calculer l'ordre maximum de certains groupes d'automorphismes de courbes algébriques réelles.

Friday 25th May 2007 at 10h15 Frédéric Bihan (LAMA),
Caractéristique d'Euler des intersections complètes tropicales non dégénérées

Friday 11th May 2007 at 10h15 Jean-Yves Welschinger (CNRS ENS-Lyon),
Classes effectives et tores lagrangiens dans les variétés symplectiques de dimension quatre

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Une classe effective dans une variété symplectique de dimension quatre est une classe d'homologie de degré deux qui est réalisée par une courbe J-holomorphe (éventuellement réductible) pour toute structure presque complexe positive sur la forme symplectique. Je montrerai que les classes effectives sont orthogonales aux tores lagrangiens pour la forme d'intersection.

Friday 27th April 2007 at 10h15 Vincent Grandjean (Oldenburg),
Equisingularité à l'infini d'une fonction modérée : quelques cas simples

Friday 20th April 2007 at 10h15 Frédéric Mangolte (LAMA),
Surfaces de Del Pezzo singulières réelles et variétés de dimension 3 fibrées en courbes rationnelles (Travail en collaboration avec Fabrizio Catanese)

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Soit W -> X une variété projective non singulière réelle de dimension 3 fibrée en courbes rationnelles. On suppose que W(R) est orientable. Soit M une composante connexe de W(R). D'après Kollár, M est alors essentiellement une variété de Seifert ou une somme connexe d'espaces lenticulaires. Soit n un entier définit de la façon suivante : Si g : M -> F est une fibration de Seifert, on note n le nombre de fibres multiples de g. Si M est une somme connexe d'espaces lenticulaires, on note n le nombre d'espaces lenticulaires.

Théorème
Lorsque X est une surface géometriquement rationnelle, n est majoré par 4.

Ce résultat répond par l'affirmative à une question de Kollár qui avait montré en 1999 que n était majoré par 6. On déduit ce théorème d'une analyse fine de certaines surface de Del Pezzo singulières avec singularités Du Val.

Friday 30th March 2007 at 10h15 Nicolas Ressayre (Université Montpellier II),
Polytopes Z-réguliers et systèmes de racines

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Un polytope convexe d'un espace euclidien est régulier si son groupe d'isométries agit transitivement sur l'ensemble de ses drapeaux. Depuis Schläfli (1901), on sait classifier ces polytopes réguliers. Si on suppose que le polytope est à sommets entiers, ou plus généralement sur un réseau, on peut définir les polytopes réguliers relativement au groupe préservant ce réseau (les polytopes Z-réguliers). Récemment Karpenkov a donné une classification de ces polytopes Z-réguliers utilisant la classification de Schläfli. Dans un travail en commun avec Pierre-Louis Montagard, nous retrouvons ce résultat en associant à chaque polytope Z-régulier un système de racines.

Friday 23rd March 2007 at 10h15 Daniel Panazzolo (Sao Paulo - Rennes),
Cycles limites pour les équations de Liénard : comptage de solutions de l'équation (...(x^r1 + a1)^r2 + ...)^rn + an= x

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Nous allons discuter le problème de comptage des cycles limites pour l'équation de Liénard classique x' = y - P(x) , y' = -x , où P(x) est un polynôme en x. Une compactification convenable de l'espace de tous les systèmes de Liénard nous amène à considérer l'équation du titre.

Friday 2nd March 2007 at 10h15 Jean-Marie Lion (Rennes),
Un théorème de type Haefliger pour les feuilletages définissables (travail en collaboration avec Patrick Speissegger)

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Considérons une variété M, définissable dans une structure o- minimale A, et munie d'un champ d'hyperplans H, intégrable et définissable dans A. Nous montrons qu'il existe un recouvrement fini de M par des ouverts définissables dans A sur chacuns desquels H induit un feuilletage en hypersurfaces séparantes.

Friday 9th February 2007 at 10h15 Didier D'Acunto (Genève),
Structure géométrique des talweg (ou extrémales du gradient)

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On montre que les ensembles extrémaux du gradient d'une fonction générique lisse sont lisses en dehors des points critiques de la fonction. Aux points critiques, les branches lisses des ensembles extrémaux sont tangents aux espaces propres du hessien. De plus, la fonction est de Morse sur son ensemble extrémal.

Friday 26th January 2007 at 10h15 Philippe Castillon (Université Montpellier II),
Un problème spectral inverse sur les surfaces

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On verra comment la positivité de certains opérateurs sur une surface riemannienne permet d'obtenir des informations sur le type conforme de la surface. Ce type de résultat trouve son origine dans l'étude des surfaces minimales stables.

Friday 19th January 2007 at 10h15 Frédéric Chazal (Université de Bourgogne et INRIA),
Stabilité et échantillonnage topologique et géométrique de compacts à l'aide fonctions distances

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Travail en commun avec D. Cohen-Steiner (INRIA Sophia-Antipolis) et A. Lieutier (Dassault Systèmes). Dans cet exposé, nous aborderons la question de la ``stabilité de la topologie'' des sous-ensembles compacts de R^n par perturbation pour la distance de Hausdorff : étant donné deux compacts K et K' dont la distance de Hausdorff est petite, peut-on déduire la topologie de K de celle de K'? En toute généralité, la réponse à cette question est évidemment négative. Cependant, nous verrons que si K appartient a une large classe de compacts (contenant les sous-analytiques), on peut apporter une réponse positive à la question précédente. L'approche adoptée est basée sur quelques propriétés de la fonction distance a un compact que nous rappelerons.

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